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Geometría diferencial: el análisis de superficies. stars

En el análisis de superficies, los puntos en una superficie pueden describirse no solo con respecto a las coordenadas tridimensionales del espacio en el que se considera la superficie, sino también con respecto a un sistema de coordenadas intrínseco definido en términos de un sistema de curvas en la superficie misma. 

Las curvas en la superficie que representan localmente las distancias más cortas entre los puntos en la superficie se llaman geodésicas; las geodésicas en un plano son líneas rectas. 

Los vectores tangentes y normales también se definen para una superficie, pero las relaciones entre ellos son más complejas que para una curva de espacio (por ejemplo, una superficie tiene un círculo completo de vectores unitarios tangentes a ella en un punto dado).

Los resultados de la teoría de las superficies se expresan más fácilmente en la notación de los tensores .

Se encuentra que la curvatura total, o gaussiana, de una superficie es un invariante de flexión, es decir, una propiedad intrínseca de la superficie en sí, independiente del espacio en el que se puede considerar la superficie. 

De particular importancia son las superficies de curvatura constante; los planos, cilindros, conos y otras denominadas superficies desarrollables tienen curvatura cero, mientras que los planos elíptico e hiperbólico de la geometria no euclidea son superficies de curvatura constante constante y negativa, respectivamente.

Definicion de Geometría algebraica stars

Geometría algebraica es una rama de la geometria , basada en la geometria analitica , que se ocupa de los objetos geométricos definidos por relaciones algebraicas entre sus coordenadas . 

En geometría plana, una curva algebraica es el lugar de todos los puntos que satisfacen la ecuación polinomial f ( x, y ) = 0; en tres dimensiones, la ecuación polinomial f ( x, y, z ) = 0 define una superficie algebraica. 

En general, los puntos en el espacio n están definidos por secuencias ordenadas de números x 1 , x 2 , x 3 , ... x n ), donde cada n- especifica un punto único y x 1 , x 2 , x 3 , ... x n son miembros de un campo dado (por ejemplo, los números complejos). 

Una hipersuperficie algebraica es el lugar de todos los puntos que satisfacen la ecuación polinomial f ( x 1 , x 2 , x 3 , ... x n ) = 0, cuyos coeficientes también se eligen del campo dado.

 La intersección de dos o más hipersuperficies algebraicas define un conjunto algebraico, o variedad, un concepto de particular importancia en la geometría algebraica.

Definición de Algebra stars

El álgebra es una rama de las matemáticas que sustituye las letras por números. El álgebra se trata de encontrar lo desconocido o poner variables de la vida real en ecuaciones y luego resolverlas. El álgebra puede incluir números reales y complejos, matrices y vectores. Una ecuacion algebraica representa una escala donde lo que se hace en un lado de la escala también se hace con el otro y los números actúan como constantes.

El algebra se usa ampliamente en muchos campos, incluidos los de medicina y contabilidad, pero también puede ser útil para la resolucion diaria de problemas .Junto con el desarrollo del pensamiento crítico, como la lógica, los patrones y el razonamiento deductivo e inductivo, comprender los conceptos centrales del álgebra puede ayudar a las personas a manejar mejor los problemas complejos que involucran números.

 

Existen numerosas ramas del álgebra, pero generalmente se consideran las más importantes:

Elemental: una rama del álgebra que trata con las propiedades generales de los números y las relaciones entre ellos.

Resumen: trata de estructuras algebraicas abstractas en lugar de los sistemas numéricos habituales

Lineal: se enfoca en ecuaciones lineales tales como funciones lineales y sus representaciones a través de matrices y espacios vectoriales

Booleano: se utiliza para analizar y simplificar circuitos digitales (lógicos). Utiliza solo números binarios, como 0 y 1.

Conmutativo: estudia los anillos conmutativos, anillos en los cuales las operaciones de multiplicación son conmutativas .

Computadora: estudia y desarrolla algoritmos y software para manipular expresiones y objetos matemáticos.

Homológico: se utiliza para probar teoremas de existencia no constructivos en álgebra. 

Universal: estudia las propiedades comunes de todas las estructuras algebraicas, incluidos grupos, anillos, campos y celosías.

Relacional: un lenguaje de consulta de procedimiento, que toma una relación como entrada y genera una relación como salida.

Teoría de números algebraica: una rama de la teoría de números que utiliza las técnicas del álgebra abstracta para estudiar los números enteros, los números racionales y sus generalizaciones.

Geometría algebraica: estudia ceros de polinomios multivariados, expresiones algebraicas que incluyen números reales y variables

Combinatoria algebraica: estudia estructuras finitas o discretas, como redes, poliedros, códigos o algoritmos.

¿Qué es la Estadística? stars

Una estadística es un valor que es una estimación de un parámetro. Una estadística se basa en una muestra. Se calcula a partir de una muestra tomada de una población.

El muestreo es una forma de recopilar información o datos sobre una población sin contar o medir realmente cada individuo en la población.

El muestreo es a menudo necesario, ya que a menudo es imposible medir o contar cada individuo dentro de una población, ya que las poblaciones suelen ser grandes y puede ser difícil encontrarlas.

Por ejemplo, si desea medir el tamaño promedio de un pájaro pequeño en un bosque por ejemplo. Si esta ave es abundante, pequeña y difícil de encontrar debido a toda la vegetación, entonces la única forma de obtener el promedio real de la población sería atrapar a cada ave y medirla. Como esto es imposible, tienes que usar un programa de muestreo.

Las aves se capturan con redes de niebla, pero éstas solo se pueden colocar en ciertas áreas, por lo que no todas las aves volarán a ellas y serán atrapadas. Esto significa que solo puede estimar el tamaño basándose en la captura de un cierto número (una muestra) de la población real.

Puede utilizar estadísticas para estimar su confianza en la estimación del parámetro de población. Esto se hace usando intervalos de confianza y estadísticas como la varianza y la desviación estándar.

Por lo tanto, la muestra es solo una parte de una población, ya que a menudo es imposible calcular un valor basado en cada individuo que conforma una población. Uno tiene que hacer suposiciones acerca de la población y asumir que la muestra representa a la población de alguna manera.

Para estimar la media y la desviación estándar cuando usamos estadísticas, usamos los símbolos: x̅ para la media, s 2 para la varianza y s para la desviación estándar. La estadística utilizada para indicar el tamaño total de una muestra viene dada por n.

Estos valores se calculan a partir de una muestra que se supone que representa la población.

¿Cuáles son las leyes de De Morgan? stars

Las estadísticas matemáticas a veces requieren el uso de la teoría de conjuntos. Las leyes de De Morgan son dos afirmaciones que describen las interacciones entre varias operaciones de teoría de conjuntos. Las leyes son que para cualquiera de los dos conjuntos A y B :

  1. ( AB ) C = A C U B C.
  2. ( A U B ) C = A CB C.

Después de explicar lo que significa cada una de estas afirmaciones, veremos un ejemplo de cada una de estas que se utilizan.



Para entender lo que dicen las leyes de De Morgan, debemos recordar algunas definiciones de las operaciones de la teoría de conjuntos. Específicamente, debemos conocer la union y la interseccion de dos conjuntos y el complemento de un conjunto.

Las leyes de De Morgan se relacionan con la interacción de la unión, la intersección y el complemento. Recordar que:

  • La intersección de los conjuntos A y B consta de todos los elementos que son comunes a A y B. La intersección se denota por AB.
  • La unión de los conjuntos A y B consiste en todos los elementos que están en A o B , incluidos los elementos en ambos conjuntos. La intersección se denota por AU B.
  • El complemento del conjunto A consiste en todos los elementos que no son elementos de A. Este complemento se denota por A C.

Ahora que hemos recordado estas operaciones elementales, veremos la declaración de las Leyes de De Morgan. Para cada par de sets A y B tenemos:

  1. ( AB ) C = A C U B C
  2. ( A U B ) C = A CB C

Estas dos afirmaciones pueden ilustrarse mediante el uso de diagramas de Venn. Como se ve a continuación, podemos demostrarlo usando un ejemplo. Para demostrar que estas afirmaciones son ciertas, debemos probarlas usando definiciones de operaciones de teoría de conjuntos.



Por ejemplo, considere el conjunto de numeros reales de 0 a 5. Escribimos esto en notación de intervalo [0, 5]. Dentro de este conjunto tenemos A = [1, 3] y B = [2, 4]. Además, después de aplicar nuestras operaciones elementales tenemos:

  • El complemento A C = [0, 1) U (3, 5]
  • El complemento B C = [0, 2) U (4, 5]
  • La unión A U B = [1, 4]
  • La intersección AB = [2, 3]

Comenzamos calculando la unión A C U B C. Vemos que la unión de [0, 1) U (3, 5] con [0, 2) U (4, 5] es [0, 2) U (3, 5]. La intersección AB es [2 , 3]. Vemos que el complemento de este conjunto [2, 3] también es [0, 2) U (3, 5]. De esta manera, hemos demostrado que A C U B C = ( AB ) C .

Ahora vemos la intersección de [0, 1) U (3, 5] con [0, 2) U (4, 5] es [0, 1) U (4, 5]. También vemos que el complemento de [ 1, 4] también es [0, 1) U (4, 5]. De esta manera, hemos demostrado que A CB C = ( A U B ) C.



A lo largo de la historia de la lógica, personas como Aristoteles y Guillermo de Ockham han hecho declaraciones equivalentes a las Leyes de De Morgan.

Las leyes de De Morgan llevan el nombre de Augustus De Morgan, que vivió desde 1806 hasta 1871. Aunque no descubrió estas leyes, fue el primero en introducir estas afirmaciones formalmente utilizando una formulación matemática en la lógica proposicional.

¿Qué es el calculo diferencial? stars

Una función es uno de los conceptos básicos en matemáticas que define una relación entre un conjunto de entradas y un conjunto de salidas posibles donde cada entrada está relacionada con una salida. Una variable es la variable independiente y la otra variable es la variable dependiente.

Hay pocas excepciones en matemáticas o puede decir problemas, que no se pueden resolver solo con métodos comunes de geometría y álgebra. Una nueva rama de las matemáticas conocida como cálculo se usa para resolver estos problemas.

El cálculo es fundamentalmente diferente de las matemáticas, que no solo usa las ideas de la geometría, la aritmética y el álgebra, sino que también se ocupa del cambio y el movimiento.

El diferencial es una de las divisiones fundamentales del cálculo, junto con el cálculo integral. Es un subcampo de cálculo que se ocupa del cambio infinitesimal en una cantidad variable. El mundo en que vivimos está lleno de cantidades interrelacionadas que cambian periódicamente.

Por ejemplo, el área de un cuerpo circular que cambia a medida que cambia el radio o un proyectil que cambia con la velocidad. Estas entidades cambiantes, en términos matemáticos, se denominan variables y la tasa de cambio de una variable con respecto a otra es un derivado. Y la ecuación que representa la relación entre estas variables se llama ecuación diferencial.

Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones que contienen funciones desconocidas y algunas de sus derivadas.

Tanto los términos diferencial y derivado están íntimamente conectados entre sí en términos de interrelación. En matemáticas, las entidades cambiantes se denominan variables y la tasa de cambio de una variable con respecto a otra se denomina derivada.

Las ecuaciones que definen la relación entre estas variables y sus derivadas se llaman ecuaciones diferenciales. La diferenciación es el proceso de encontrar un derivado. La derivada de una función es la tasa de cambio del valor de salida con respecto a su valor de entrada, mientras que diferencial es el cambio real de la función.

Numeros primos

Un número primo es cualquier número que se puede dividir solo por 1 y por sí mismo. Por ejemplo, 3 es un número primo porque los únicos números que lo dividen son 1 y 3. El número 4 no lo es, porque se puede dividir por 1, 2 y 4. Los números primos a veces se llaman elementos químicos del números, porque cualquier número entero se puede expresar como un producto de números primos. El número 100 no es primo, porque es divisible por 2, 4, 5, 10, 20, 25 y 50, pero puede expresarse como 2 * 2 * 5 * 5.

Aunque los números primos parecen simples, algunas de sus propiedades todavía son objeto de gran interés matemático. Un problema que ha ocupado a los matemáticos es la conjetura principal doble, que establece que hay infinitos primos que difieren en 2 (por ejemplo, 3 y 5, 17 y 19, y 29 y 31). Tales números primos aparecen con menor frecuencia a medida que los números se hacen más grandes (por ejemplo, 18.408.989 y 18.408.991 son primos, con los siguientes primos gemelos son 18.409.199 y 18.409.201), pero la conjetura postula que no desaparecen del todo. No hay último doble primo. Sin embargo, la conjetura principal doble es una conjetura, lo que significa que los matemáticos sospechan que es cierto, pero no lo han probado. En 2013, Yitang Zhang hizo un gran avance cuando demostró que había infinitos primos que diferían en 70 millones. Ese número está muy lejos de 2, pero es mucho mejor que el infinito, que es donde antes estaba la conjetura. El trabajo posterior ha mejorado desde entonces en el trabajo de Zhang, por lo que se sabe que hay infinitos infinitos que difieren en 246.

Un tipo especial de primo ha sido intensamente investigado. Los primos de Mersenne toman la forma 2 ^ n - 1 donde n es un número entero. El primer primo de Mersenne es 3 = 2 ^ 2 - 1; el siguiente es 7 = 2 ^ 3 - 1. Sin embargo, luego comienzan a disminuir. Los siguientes números primos de Mersenne son 31; 127; 8.191; y 131,071. Solo se conocen 49 primos Mersenne. Los 15 números primos Mersenne más recientemente descubiertos se han encontrado como parte del Gran Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), un proyecto de computación distribuida. El descubrimiento más reciente fue en enero de 2016, cuando se descubrió que 2 ^ 74,207,281 - 1 era primo. Ese número tiene 22,338,618 dígitos y es el número primo más grande conocido.

El cero numero par o impar

¿Es cero un par o un número impar?

La paridad matemática suele ser una de las primeras reglas aprendidas en las primeras clases de aritmética, aunque es posible que no esté familiarizado con el nombre. Es cómo dividimos todos los enteros en dos categorías: números pares y números impares. La determinación de la paridad de un número entero -un número que se puede escribir sin un resto o componente fraccionario- es tan simple como hacer una pregunta: ¿Es el número divisible por 2? Si es así, entonces es par; si no, entonces es extraño.


Entonces, ¿dónde exactamente 0 cae en estas categorías? La mayoría de las personas están confundidas por el número 0, no están seguras de si es un número entero para empezar y desconocen su ubicación como un número, porque técnicamente significa un conjunto vacío. Bajo las reglas de paridad, ¿es cero par o impar?

Como un número entero que se puede escribir sin un resto, 0 se clasifica como un número entero. Entonces, para determinar si es par o impar, debemos hacernos la pregunta: ¿Es 0 divisible por 2?

Un número es divisible por 2 si el resultado de su división por 2 no tiene residuo o componente fraccionario, en otros términos, si el resultado es un número entero. Vamos a romper eso. Cuando se trata de dividir un número, cada parte de una ecuación tiene un propósito y un nombre específicos en función de lo que hace. Por ejemplo, tome una división simple por dos: 10 ÷ 2 = 5. En esta declaración de división, el número 10 es el dividendo, o el número que se divide; el número 2 es el divisor, o el número por el cual se divide el dividendo; y el número 5 es el cociente, o el resultado de la ecuación. Debido a que el cociente de esta división por 2 es un número entero, se prueba que el número 10 es par. Si tuviera que dividir, digamos, 101 por 2, el cociente sería 50.5, no un número entero, clasificando 101 como un número impar.


Por lo tanto, abordemos 0 de la misma forma que cualquier otro entero. Cuando 0 está dividido por 2, el cociente resultante también resulta ser 0, un número entero, clasificándolo así como un número par. Aunque muchos se apresuran a denunciar el cero como no un número, una aritmética rápida aclara la confusión que rodea al número, un número par.


Geometría hidráulica

Geometría hidráulica
La geometría hidráulica se ocupa de la variación en las características del canal en relación con las variaciones en la descarga. Se producen dos conjuntos de variaciones: variaciones en una sección transversal particular (en una estación) y variaciones a lo largo de la secuencia (variaciones aguas abajo). Las características que responden al análisis por geometría hidráulica incluyen ancho (ancho de la superficie del agua), profundidad (profundidad media del agua), velocidad (velocidad media a través de la sección transversal), sedimento (generalmente concentración o transporte, o ambos, del sedimento suspendido), pendiente aguas abajo y canal de fricción.


Los gráficos de los valores de las características del canal frente a los valores de descarga generalmente muestran cierta dispersión o desviación de las líneas de mejor ajuste. Una causa principal es que los valores en una inundación creciente a menudo difieren de los de una inundación decreciente, en parte debido a la reducción de la resistencia al flujo y, por lo tanto, al aumento de la velocidad, a medida que aumenta la concentración de sedimentos en la creciente inundación. La socavación de la cama y el relleno de la cama también están relacionados. Sin embargo, las variaciones para una sección transversal dada se pueden expresar como funciones de descarga, Q. Por ejemplo, ancho, profundidad y velocidad están relacionadas con la descarga por las expresiones: w α Qb, d α Qf y v α Qm, donde w, d, v y b, f, m son constantes numéricas. La suma de los exponentes b + f + m = 1, debido a la relación básica, es decir, que Q = wdv.

Se pueden derivar funciones similares para las variaciones aguas abajo, pero, para que las comparaciones en sentido descendente sean posibles, los valores observados de la descarga y de las características del canal deben referirse a las frecuencias de descarga seleccionadas. Cuando los datos se trazan en gráficos con escalas logarítmicas para cada una de las dos frecuencias de descarga en una estación aguas arriba y aguas abajo, los cuatro puntos para cada característica de canal definen un paralelogramo, por lo que la geometría hidráulica de la corriente se define con respecto a esa característica. Los valores de los exponentes en las ecuaciones de potencia difieren considerablemente de un río a otro: los que se muestran aquí son valores óptimos teóricos. Una causa común de la diferencia es que muchas estaciones de medición están ubicadas donde se controlan algunas características del canal, ya sea de forma natural como por afloramientos rocosos o artificialmente como mediante pilares de puentes. Las restricciones en la variación del ancho, por ejemplo, se compensan principalmente por una mayor variación en la profundidad.


Los análisis de la variación aguas abajo en la pendiente del canal con la descarga comúnmente revelan contrastes entre los resultados de campo y los óptimos teóricos. La discrepancia probablemente se deba en gran parte al hecho de que la pendiente del canal puede variar de acuerdo con la eficiencia del canal, incluidos el hábito del canal, el tamaño del canal y la forma del canal. Muchas discusiones pasadas sobre la pendiente de la corriente son invalidadas por su restricción a las dos dimensiones de altura y distancia. En cualquier caso, las laderas de muchos canales naturales están influenciadas por alguna combinación de movimiento de tierra, cambio en el nivel base, erosión glacial, deposición glacial y cambio en las características de carga y descarga que resultan del cambio de clima. En consecuencia, aunque los perfiles naturales de la fuente de la corriente a la boca de la corriente sugieren una tendencia hacia una forma cóncava y ascendente lisa, muchos en realidad son irregulares. Incluso sin un cambio de nivel de base, tendencia a la degradación o descarga, un cambio en la sinuosidad del canal puede producir un cambio significativo en la pendiente del canal.


Una disminución marcada de la pendiente aguas abajo no implica una disminución en la velocidad a una frecuencia dada de descarga; la reducción de la pendiente está acompañada, y compensada, por un aumento en la eficiencia del canal debido principalmente a un aumento en el tamaño. El bajo Amazonas, con una pendiente de menos de 7.6 centímetros por 1.6 kilómetros, fluye más rápido en la etapa de banqueo que muchos arroyos de montaña, a 2.4 metros por segundo. De acuerdo con las suposiciones hechas, una ecuación de velocidad óptima en geometría hidráulica puede predecir un ligero aumento, constancia o una ligera disminución en la velocidad aguas abajo, para una frecuencia dada de descarga. En el Mississippi, la velocidad a la descarga media (no una frecuencia establecida) aumenta aguas abajo; la velocidad en las etapas de overbank de las inundaciones de cinco años y 50 años es constante en sentido descendente. La velocidad constante en sentido descendente bien puede alcanzarse primero en la etapa completa del banco. El hecho de que las relaciones estén muy perturbadas en y cerca de cascadas y otras grandes roturas de la ladera (el Paraná justo debajo del sitio de las antiguas Cataratas Guaíra, por ejemplo, corría de nueve a 14 metros por segundo) no tiene relación con los principios de la hidráulica geometría, que se aplica esencialmente a las corrientes en canales ajustables.

Las interrelaciones y ajustes entre ancho, profundidad, relación ancho-profundidad, concentración de sedimentos suspendidos, transporte de sedimentos, deposición, viscosidad de remolino, rugosidad del lecho, rugosidad del banco, rugosidad del canal y pendiente del canal en relación con la descarga, tanto en estación y en la dirección descendente, más la tendencia en muchas secciones en muchas corrientes de que ocurra una variación sobre algún valor modal, todos fomentan la concepción de los ríos como sistemas de equilibrio. La designación de sistemas de cuasiequilibrio se usa habitualmente, ya que no todas las variaciones pueden minimizarse simultáneamente, y la minimización de algunas variaciones (por ejemplo, de la pendiente de la superficie del agua) solo se puede asegurar a expensas de maximizar otras (por ejemplo, profundidad del canal).

Los isotopos radioactivos

Isótopos radioactivos

Se sabe que solo una pequeña fracción de los isótopos está estable indefinidamente. Todos los demás se desintegran espontáneamente con la liberación de energía por procesos ampliamente designados como desintegración radiactiva. Cada isótopo radiactivo "padre" eventualmente se descompone en una o como mucho unas pocas "hijas" de isótopos estables específicas de ese padre. El tritio primario radiactivo (3H o hidrógeno-3), por ejemplo, siempre se convierte en el helio-3 hija (3He) al emitir un electrón.


En condiciones normales, la desintegración de cada isótopo radiactivo procede a una tasa característica bien definida. Por lo tanto, sin reposición, cualquier isótopo radiactivo desaparecerá en última instancia. Sin embargo, algunos isótopos se descomponen tan lentamente que persisten en la Tierra hoy incluso después del paso de más de 4.500 millones de años desde la última inyección significativa de átomos recién sintetizados de una estrella cercana. Los ejemplos de tales radioisótopos de vida larga incluyen potasio-40, rubidio-87, neodimio-144, uranio-235, uranio-238 y torio-232.


En este contexto, la aparición generalizada de radioisótopos que se descomponen más rápidamente, como el radón-222 y el carbono-14, puede parecer al principio desconcertante. La explicación de la aparente paradoja es que los núclidos en esta categoría se reponen continuamente mediante procesos nucleares especializados: por la lenta descomposición del uranio en la Tierra en el caso del radón y por las interacciones de los rayos cósmicos con la atmósfera en el caso del carbono. 14. Las pruebas nucleares y la liberación de material de reactores nucleares también introducen isótopos radiactivos en el medio ambiente.

Los físicos nucleares han realizado un gran esfuerzo para crear isótopos no detectados en la naturaleza, en parte como una forma de probar las teorías de la estabilidad nuclear. En 2006, un equipo de investigadores en el Instituto Conjunto de Investigación Nuclear en Dubna, cerca de Moscú, y en el Laboratorio Nacional Lawrence Livermore, en Livermore, California, EE. UU., Anunciaron la creación de oganesson, con 118 protones y 176 neutrones. Como la mayoría de los isótopos de elementos más pesados que el uranio, es radiactivo, descomponiéndose en fracciones de segundo en elementos más comunes.


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