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Definicion de Geometría algebraica stars

Geometría algebraica es una rama de la geometria , basada en la geometria analitica , que se ocupa de los objetos geométricos definidos por relaciones algebraicas entre sus coordenadas . 

En geometría plana, una curva algebraica es el lugar de todos los puntos que satisfacen la ecuación polinomial f ( x, y ) = 0; en tres dimensiones, la ecuación polinomial f ( x, y, z ) = 0 define una superficie algebraica. 

En general, los puntos en el espacio n están definidos por secuencias ordenadas de números x 1 , x 2 , x 3 , ... x n ), donde cada n- especifica un punto único y x 1 , x 2 , x 3 , ... x n son miembros de un campo dado (por ejemplo, los números complejos). 

Una hipersuperficie algebraica es el lugar de todos los puntos que satisfacen la ecuación polinomial f ( x 1 , x 2 , x 3 , ... x n ) = 0, cuyos coeficientes también se eligen del campo dado.

 La intersección de dos o más hipersuperficies algebraicas define un conjunto algebraico, o variedad, un concepto de particular importancia en la geometría algebraica.

Geometria analitica:Analisis de vectores

Análisis de vectores


En el espacio euclidiano de cualquier dimensión, segmentos de línea dirigidos a vectores, se pueden especificar por coordenadas. Una n-tupla (a1, ..., an) representa el vector en el espacio n-dimensional que se proyecta sobre los números reales a1, ..., an en los ejes de coordenadas.

En 1843, el matemático-astrónomo irlandés William Rowan Hamilton representó los vectores tetradimensionales algebraicamente e inventó los cuaterniones, el primer álgebra no conmutativa que se estudió ampliamente. Al multiplicar los cuaterniones con una coordenada cero, Hamilton descubrió las operaciones fundamentales de los vectores. Sin embargo, los físicos matemáticos encontraron que la notación utilizada en el análisis de vectores era más flexible, en particular, es fácilmente extensible a espacios infinitamente dimensionales. Los cuaterniones permanecieron de interés algebraicamente y se incorporaron en la década de 1960 en ciertos modelos nuevos de física de partículas.


Proyecciones
A medida que el poder de cómputo disponible crecía exponencialmente en las últimas décadas del siglo XX, la animación por computadora y el diseño asistido por computadora se volvieron omnipresentes. Estas aplicaciones se basan en la geometría analítica tridimensional. Las coordenadas se utilizan para determinar los bordes o las curvas paramétricas que forman los límites de las superficies de los objetos virtuales. El análisis vectorial se utiliza para modelar la iluminación y determinar sombreados realistas de las superficies.


Ya en 1850, Julius Plücker había unido la geometría analítica y proyectiva mediante la introducción de coordenadas homogéneas que representan puntos en el plano euclidiano (ver geometría euclidiana) y en el infinito de una manera uniforme como triples. Las transformaciones proyectivas, que son cambios lineales invertibles de coordenadas homogéneas, se dan por multiplicación de matrices. Esto permite que los programas de gráficos por computadora cambien de manera eficiente la forma o la vista de los objetos representados y los proyecta desde el espacio virtual tridimensional a la pantalla de visualización bidimensional.


Geometria analitica: Tres y más dimensiones

Geometría analítica de tres y más dimensiones


Aunque tanto Descartes como Fermat sugirieron usar tres coordenadas para estudiar curvas y superficies en el espacio, la geometría analítica tridimensional se desarrolló lentamente hasta alrededor de 1730, cuando los matemáticos suizos Leonhard Euler y Jakob Hermann y el matemático francés Alexis Clairaut produjeron ecuaciones generales para cilindros, conos y superficies de revolución. Por ejemplo, Euler y Hermann mostraron que la ecuación f (z) = x2 + y2 da la superficie que se produce al girar la curva f (z) = x2 alrededor del eje z (ver la figura, que muestra el paraboloide elíptico z = x2 + y2).

Newton hizo la notable afirmación de que todos los planos cúbicos surgen de aquellos en su tercera forma estándar por proyección entre planos. Esto fue probado independientemente en 1731 por Clairaut y el matemático francés François Nicole. Clairaut obtuvo todas las cúbicas en las cuatro formas estándar de Newton como secciones del cono cúbico


consistente en las líneas en el espacio que unen el origen (0, 0, 0) con los puntos en el tercer estándar cúbico en el plano z = 1.

En 1748, Euler usó ecuaciones para rotaciones y traducciones en el espacio para transformar la superficie cuádrica general.


para que sus ejes principales coincidan con los ejes de coordenadas. Euler y los matemáticos franceses Joseph-Louis Lagrange y Gaspard Monge hicieron que la geometría analítica fuera independiente de la geometría sintética (no analítica).




La geometria analitica

Geometría analítica


Geometría analítica, también llamada geometría coordinada, tema matemático en el que el simbolismo y los métodos algebraicos se usan para representar y resolver problemas en geometría. La importancia de la geometría analítica es que establece una correspondencia entre las curvas geométricas y las ecuaciones algebraicas. Esta correspondencia permite reformular problemas en geometría como problemas equivalentes en álgebra, y viceversa; los métodos de cualquiera de los sujetos se pueden usar para resolver problemas en el otro. Por ejemplo, las computadoras crean animaciones para mostrarlas en juegos y películas manipulando ecuaciones algebraicas.

 

 

 

Geometría analítica elemental


Apolonio de Perga (c. 262-190 aC), conocido por sus contemporáneos como el "Gran Geómetra", presagió el desarrollo de la geometría analítica por más de 1.800 años con su libro Cónicas. Definió una cónica como la intersección de un cono y un avión . Utilizando los resultados de Euclides en triángulos semejantes y en secantes de círculos, encontró una relación satisfecha por las distancias desde cualquier punto P de una cónica a dos líneas perpendiculares, el eje principal de la cónica y la tangente en un punto final del eje. Estas distancias corresponden a las coordenadas de P, y la relación entre estas coordenadas corresponde a una ecuación cuadrática de la cónica. Apolonio usó esta relación para deducir propiedades fundamentales de las cónicas. Ver sección cónica.


El desarrollo adicional de los sistemas de coordenadas en matemáticas surgió solo después de que el álgebra había madurado bajo los matemáticos islámicos e indios. (Ver matemáticas: El mundo islámico (siglos VIII-XV) y las matemáticas, Asia meridional.) A finales del siglo XVI, el matemático francés François Viète introdujo la primera notación algebraica sistemática, utilizando letras para representar cantidades numéricas conocidas y desconocidas, y desarrolló poderosos métodos generales para trabajar con expresiones algebraicas y resolver ecuaciones algebraicas. Con el poder de la notación algebraica, los matemáticos ya no dependían por completo de las figuras geométricas y la intuición geométrica para resolver problemas. Los más atrevidos comenzaron a dejar atrás la forma de pensamiento geométrica estándar en la que las variables lineales (primera potencia) correspondían a longitudes, cuadrados (segunda potencia) a áreas y cúbicos (tercera potencia) a volúmenes, con mayores poderes sin interpretación "física" . Dos franceses, el matemático y filósofo René Descartes y el abogado y matemático Pierre de Fermat, fueron los primeros en dar este atrevido paso.

Descartes y Fermat fundaron independientemente la geometría analítica en la década de 1630 adaptando el álgebra de Viète al estudio de loci geométricos. Se movieron decisivamente más allá de Viète usando letras para representar distancias que son variables en lugar de fijas. Descartes usó ecuaciones para estudiar curvas definidas geométricamente, e hizo hincapié en la necesidad de considerar curvas algebraicas generales: gráficos de ecuaciones polinómicas en xey de todos los grados. Demostró su método en un problema clásico: encontrar todos los puntos P de modo que el producto de las distancias desde P hasta ciertas líneas sea igual al producto de las distancias a otras líneas. Ver geometría: geometría cartesiana.

Fermat enfatizó que cualquier relación entre las coordenadas xey determina una curva. Usando esta idea, reformuló los argumentos de Apolonio en términos algebraicos y restauró el trabajo perdido. Fermat indicó que cualquier ecuación cuadrática en xey puede ponerse en la forma estándar de una de las secciones cónicas.

Fermat no publicó su obra, y Descartes deliberadamente hizo su difícil lectura para desalentar a los "dabblers". Sus ideas obtuvieron aceptación general solo a través de los esfuerzos de otros matemáticos en la segunda mitad del siglo XVII. En particular, el matemático holandés Frans van Schooten tradujo los escritos de Descartes del francés al latín. Agregó material explicativo vital, como lo hicieron el abogado francés Florimond de Beaune y el matemático holandés Johan de Witt. En Inglaterra, el matemático John Wallis popularizó la geometría analítica, usando ecuaciones para definir las cónicas y derivar sus propiedades. Utilizó coordenadas negativas libremente, aunque fue Isaac Newton quien inequívocamente utilizó dos ejes (oblicuos) para dividir el plano en cuatro cuadrantes, como se muestra en la figura.

La geometría analítica tuvo su mayor impacto en las matemáticas a través del cálculo. Sin acceso al poder de la geometría analítica, los matemáticos griegos clásicos como Arquímedes (c 285-212 / 211 aC) resolvieron casos especiales de los problemas básicos del cálculo: encontrar tangentes y puntos extremos (cálculo diferencial) y longitudes de arco, áreas, y volúmenes (cálculo integral). Los matemáticos del Renacimiento fueron llevados a estos problemas por las necesidades de la astronomía, la óptica, la navegación, la guerra y el comercio. Naturalmente, buscaron usar el poder del álgebra para definir y analizar un rango creciente de curvas.


Fermat desarrolló un algoritmo algebraico para encontrar la tangente a una curva algebraica en un punto al encontrar una línea que tiene un doble intersección con la curva en el punto, en esencia, inventando cálculo diferencial. Descartes introdujo un algoritmo similar pero más complicado usando un círculo. Fermat calculó áreas bajo las curvas y = axk para todos los números racionales k ≠ -1 sumando áreas de rectángulos inscritos y circunscritos. (Ver agotamiento, método de). Durante el resto del siglo XVII, muchos matemáticos continuaron con el trabajo de cálculo, incluido el francés Gilles Personne de Roberval, el italiano Bonaventura Cavalieri y los británicos James Gregory, John Wallis e Isaac. Barrow.Newton y el alemán Gottfried Leibniz revolucionaron las matemáticas a fines del siglo XVII demostrando de forma independiente el poder del cálculo. Ambos hombres usaron coordenadas para desarrollar notaciones que expresaron las ideas del cálculo en generalidad completa y condujeron naturalmente a las reglas de diferenciación y al teorema fundamental del cálculo (que conecta el cálculo diferencial e integral). Véase el análisis. Newton demostró la importancia de los métodos analíticos en geometría, además de su papel en el cálculo, cuando afirmó que cualquier curva cúbica o algebraica de grado tres tiene una de las cuatro ecuaciones estándar.


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