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Geometría diferencial: el análisis de superficies. stars

En el análisis de superficies, los puntos en una superficie pueden describirse no solo con respecto a las coordenadas tridimensionales del espacio en el que se considera la superficie, sino también con respecto a un sistema de coordenadas intrínseco definido en términos de un sistema de curvas en la superficie misma. 

Las curvas en la superficie que representan localmente las distancias más cortas entre los puntos en la superficie se llaman geodésicas; las geodésicas en un plano son líneas rectas. 

Los vectores tangentes y normales también se definen para una superficie, pero las relaciones entre ellos son más complejas que para una curva de espacio (por ejemplo, una superficie tiene un círculo completo de vectores unitarios tangentes a ella en un punto dado).

Los resultados de la teoría de las superficies se expresan más fácilmente en la notación de los tensores .

Se encuentra que la curvatura total, o gaussiana, de una superficie es un invariante de flexión, es decir, una propiedad intrínseca de la superficie en sí, independiente del espacio en el que se puede considerar la superficie. 

De particular importancia son las superficies de curvatura constante; los planos, cilindros, conos y otras denominadas superficies desarrollables tienen curvatura cero, mientras que los planos elíptico e hiperbólico de la geometria no euclidea son superficies de curvatura constante constante y negativa, respectivamente.

¿ Que es la Ley asociativa? stars

La ley asociativa, en matemáticas, es la ley que sostiene que para una operación dada que combina tres cantidades, dos a la vez, el emparejamiento inicial es arbitrario; por ejemplo, utilizando la operación de suma, los números 2, 3 y 4 pueden combinarse (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9 o 2+ (3 + 4) = 2 + 7 = 9. 

Más generalmente, además, para cualquiera de los tres números a, b, y c, la ley asociativa se expresa como ( a + b ) + c = a + ( b + c ). 

La multiplicación de números también es asociativa, es decir, ( a × b ) × c = a × ( b × c ).

 En general, cualquier operación binaria, simbolizada por, que une las entidades matemáticas A, B y C obedece la ley asociativa si ( A ∘ B ) ∘ C = A ∘ ( B ∘ C ) para todas las opciones posibles de A, B, y C. No todas las operaciones son asociativas. 

Por ejemplo, la división ordinaria no lo es, ya que (60 ÷ 12) ÷ 3 = 5 ÷ 3 = 5/3, mientras que 60 ÷ (12 ÷ 3) = 60 ÷ 4 = 15. Cuando una operación es asociativa, se pueden omitir los paréntesis que indican qué cantidades se deben combinar primero, por ejemplo, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 2 + 3 + 4.

Definicion de Geometría algebraica stars

Geometría algebraica es una rama de la geometria , basada en la geometria analitica , que se ocupa de los objetos geométricos definidos por relaciones algebraicas entre sus coordenadas . 

En geometría plana, una curva algebraica es el lugar de todos los puntos que satisfacen la ecuación polinomial f ( x, y ) = 0; en tres dimensiones, la ecuación polinomial f ( x, y, z ) = 0 define una superficie algebraica. 

En general, los puntos en el espacio n están definidos por secuencias ordenadas de números x 1 , x 2 , x 3 , ... x n ), donde cada n- especifica un punto único y x 1 , x 2 , x 3 , ... x n son miembros de un campo dado (por ejemplo, los números complejos). 

Una hipersuperficie algebraica es el lugar de todos los puntos que satisfacen la ecuación polinomial f ( x 1 , x 2 , x 3 , ... x n ) = 0, cuyos coeficientes también se eligen del campo dado.

 La intersección de dos o más hipersuperficies algebraicas define un conjunto algebraico, o variedad, un concepto de particular importancia en la geometría algebraica.

¿Cuáles son los ceros de una Función Cuadrática? stars

Las expresiones algebraicas son las frases utilizadas en el algebra para combinar una o más variables (representadas por letras), constantes y los símbolos operativos (+ - x /). Las expresiones algebraicas, sin embargo, no tienen un signo igual (=).

 

A diferencia de las expresiones de suma, cuando escuchamos palabras que se refieren a la resta, el orden de los números no se puede cambiar. Recuerde que 4 + 7 y 7 + 4 resultarán en la misma respuesta, pero 4-7 y 7-4 en la resta no tienen los mismos resultados. Probemos algunas frases y las convertimos en expresiones algebraicas para la resta:

 
  • Pregunta: Escribe siete menos n como una expresión algebraica.
  • Respuesta: 7 - n
  • Pregunta: ¿Qué expresión se puede usar para representar "ocho menos n?"
  • Respuesta: 8 - n
  • Pregunta: Escriba "un número disminuido en 11" como una expresión algebraica.
  • Respuesta: n - 11 (No puedes cambiar el orden.)
  • Pregunta: ¿Cómo puedes expresar la expresión "dos veces la diferencia entre n y cinco?"
  • Respuesta: 2 (n-5)

Recuerde pensar en la resta cuando oiga o lea lo siguiente: menos, menos, disminuir, disminuir o diferencia. La resta tiende a causar a los estudiantes mayores dificultades que la suma, por lo que es importante asegurarse de referir estos términos de resta para asegurar que los estudiantes entiendan.

La multiplicacion , división, exponenciales y paréntesis son parte de las formas en que funcionan las expresiones algebraicas, todas las cuales siguen un orden de operaciones cuando se presentan juntas. Este orden define la manera en que los estudiantes resuelven la ecuación para obtener variables a un lado del signo igual y solo números reales en el otro lado.

Al igual que con la suma y la resta , cada una de estas otras formas de manipulación de valores viene con sus propios términos que ayudan a identificar qué tipo de operación está realizando su expresión algebraica: palabras como tiempos y multiplicadas por la multiplicación del disparador mientras que palabras como sobre, divididas por y divididas en grupos iguales denotan expresiones de división.

Diferencia entre Diferenciación e Integración stars

La diferenciación es un término usado en el cálculo para referirse al cambio en qué propiedades experimentan un cambio de unidad en otra propiedad relacionada.

En otro término, la diferenciación forma una expresión algebraica que ayuda en el cálculo del gradiente de una curva en un punto dado. Es importante destacar que las curvas tienen sus pendientes que varían en un punto dado a diferencia de las líneas rectas, que tienen la misma pendiente en todo momento.

Integración es un término usado en el cálculo para referirse a la fórmula y al procedimiento de cálculo del área bajo la curva.

Vale la pena señalar que el gráfico debe estar debajo de una curva, lo que resulta en la formación de una parte integral, que es difícil encontrar el área a diferencia de otras formas como círculos, cuadrados y rectángulos, que son más fáciles de calcular sus áreas.

La integración y la diferenciación pueden diferenciarse principalmente en la forma en que se aplican los dos conceptos y sus resultados finales. Se utilizan para llegar a diferentes respuestas, que es la diferencia fundamental. La diferenciación se utiliza en el cálculo del gradiente de la curva. Las curvas no lineales tienen diferentes pendientes en cualquier punto dado, lo que dificulta la determinación de sus gradientes. La expresión algebraica utilizada para determinar el cambio incurrido de un punto a otro con una unidad se conoce como diferenciación. Por otro lado, la integración es una expresión algebraica utilizada en el cálculo del área bajo la curva porque no es una forma perfecta después de la cual se puede calcular fácilmente el área.

La otra diferencia entre integración y diferenciación es el papel que desempeñan cuando se trata de una función determinada bajo investigación. Según los matemáticos, la diferenciación ayuda significativamente en la determinación de la velocidad de la función al ayudar en el cálculo de la velocidad instantánea. Por otro lado, la integración se ocupa de determinar la distancia recorrida por cualquier función dada. El área debajo de la curva se estima que es equivalente a la distancia recorrida por la función. La expresión algebraica de integración ayuda a calcular el área bajo la curva, lo que equivale a la distancia recorrida por la función.

¿Qué son los Números Reales? stars

>Los números reales son los valores que puede encontrar en la línea numérica que generalmente se expresa como una línea geométrica horizontal donde un punto elegido funciona como el "origen". Los que caen en el lado derecho se etiquetan como positivos, mientras que los que están en el lado derecho son negativos. La descripción "real" fue presentada por Rene Descartes, un famoso matemático y filósofo en el siglo XVII. En particular, estableció la diferencia entre las raíces reales de los polinomios y sus raíces imaginarias.

Los números reales incluyen números enteros, enteros, naturales, racionales e irracionales:

  • Números enteros

Los números enteros son números positivos que no tienen partes fraccionarias ni puntos decimales, ya que representan objetos enteros sin fragmentos o piezas.

  • Enteros

Los enteros son números enteros que incluyen el lado negativo de la recta numérica.

  • Números naturales

También conocidos como números de conteo, los números naturales son como números enteros, pero el cero no se incluye, ya que nada se puede contar esencialmente como "0".

  • Numeros racionales

En cuanto a sus orígenes, Pitágoras, el antiguo matemático griego, proclamó que todos los números eran racionales. Los números racionales son los cocientes o las fracciones de dos enteros.Donde p y q son ambos enteros y q no es equivalente a cero, p / q es un número racional. Por ejemplo, 3/5 es un número racional pero 3/0 no lo es.

  • Numeros irracionales

Estudiante de Pitágoras, Hipaso no estaba de acuerdo en que todos los números fueran racionales. A través de la geometría, demostró que algunos números eran irracionales. Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos, que es 1.41 no se puede expresar como una fracción; Por lo tanto, es irracional. Desafortunadamente, la realidad de los números racionales no fue aceptada por los seguidores de Pitágoras. Esto provocó que Hippasus se ahogara en el mar, que se dice que era un castigo de los dioses durante ese tiempo.

Cómo escribir expresiones en Algebra stars

Las expresiones algebraicas son las frases utilizadas en el algebra para combinar una o más variables (representadas por letras), constantes y los símbolos operativos (+ - x /). Las expresiones algebraicas, sin embargo, no tienen un signo igual (=).

Use las siguientes preguntas y respuestas para ayudar a su estudiante a aprender la manera correcta de formular expresiones algebraicas basadas en frases matemáticas:

  • Pregunta: Escribe siete más n como una expresión algebraica.
  • Respuesta: 7 + n
  • Pregunta: ¿Qué expresión algebraica se usa para significar "suma siete y n"?
  • Respuesta: 7 + n
  • Pregunta: ¿Qué expresión se usa para significar "un número aumentado en ocho"?
  • Respuesta: n + 8 u 8 + n
  • Pregunta: Escribe una expresión para "la suma de un número y 22."
  • Respuesta: n + 22 o 22 + n

Como puede ver, todas las preguntas anteriores tratan con expresiones algebraicas que tratan con la suma de números. Recuerde pensar "suma" cuando escuche o lea las palabras agregar, más, aumentar o sumar, ya que la expresión algebraica resultante requerirá El signo de suma (+).

A diferencia de las expresiones de suma, cuando escuchamos palabras que se refieren a la resta, el orden de los números no se puede cambiar. Recuerde que 4 + 7 y 7 + 4 resultarán en la misma respuesta, pero 4-7 y 7-4 en la resta no tienen los mismos resultados. Probemos algunas frases y las convertimos en expresiones algebraicas para la resta:

  • Pregunta: Escribe siete menos n como una expresión algebraica.
  • Respuesta: 7 - n
  • Pregunta: ¿Qué expresión se puede usar para representar "ocho menos n?"
  • Respuesta: 8 - n
  • Pregunta: Escriba "un número disminuido en 11" como una expresión algebraica.
  • Respuesta: n - 11 (No puede cambiar el orden.)
  • Pregunta: ¿Cómo puedes expresar la expresión "dos veces la diferencia entre n y cinco?"
  • Respuesta: 2 (n-5)
Recuerde pensar en la resta cuando oiga o lea lo siguiente: menos, menos, disminuir, disminuir o diferencia. La resta tiende a causar a los estudiantes mayores dificultades que la suma, por lo que es importante asegurarse de referir estos términos de resta para asegurar que los estudiantes entiendan.

La multiplicacion , división, exponenciales y paréntesis forman parte de las formas en que funcionan las expresiones algebraicas, todas las cuales siguen un orden de operaciones cuando se presentan juntas. Este orden define la manera en que los estudiantes resuelven la ecuación para obtener variables a un lado del signo igual y solo números reales en el otro lado.

Una vez que los estudiantes aprenden estas cuatro formas básicas de expresiones algebraicas, pueden comenzar a formar expresiones que contienen exponenciales (un número multiplicado por sí mismo un número designado de veces) y paréntesis (frases algebraicas que deben resolverse antes de realizar la siguiente función en la frase ). Un ejemplo de una expresión exponencial con paréntesis sería 2x 2 + 2 (x-2).

¿Qué es un binomio? stars

Una ecuación polinomial con dos términos generalmente unidos por un signo más o menos se llama binomio. Los binomios se utilizan en álgebra. Los polinomios con un término se llamarán monomios y podrían verse como 7x. Un polinomio con dos términos se llama binomial, podría verse como 3x + 9. Es fácil recordar a los binomios como bi significa 2 y un binomio tendrá 2 términos.

Un ejemplo clásico es el siguiente: 3x + 4 es un binomio y también es un polinomio, 2a (a + b) 2 también es un binomio (ayb son los factores binomiales).

Los anteriores son ambos binomios.

Al multiplicar los binomios, se encontrará con un término llamado metodo FOIL que a menudo es solo el método utilizado para multiplicar los binomios.

Por ejemplo, para encontrar el producto de 2 binomios, agregará los productos de los Primeros términos, los términos finales, los términos finales y los términos finales.

Cuando se le pide que cuadrar un binomio, simplemente significa multiplicarlo por sí mismo. El cuadrado de un binomio será en realidad un trinomio. El producto de dos binomios será un trinomio.

 

¿Qué es un binomio? stars

Una ecuación polinomial con dos términos generalmente unidos por un signo más o menos se llama binomio. Los binomios se utilizan en álgebra. Los polinomios con un término se llamarán monomios y podrían verse como 7x. Un polinomio con dos términos se llama binomial, podría verse como 3x + 9. Es fácil recordar a los binomios como bi significa 2 y un binomio tendrá 2 términos.

Un ejemplo clásico es el siguiente: 3x + 4 es un binomio y también es un polinomio, 2a (a + b) 2 también es un binomio (ayb son los factores binomiales).

Los anteriores son ambos binomios.

Al multiplicar los binomios, se encontrará con un término llamado metodo Foil que a menudo es solo el método utilizado para multiplicar los binomios.

Por ejemplo, para encontrar el producto de 2 binomios, agregará los productos de los Primeros términos, los términos finales, los términos finales y los términos finales.

Cuando se le pide que cuadrar un binomio, simplemente significa multiplicarlo por sí mismo. El cuadrado de un binomio será en realidad un trinomio. El producto de dos binomios será un trinomio.

 

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