Geometría diferencial: el análisis de superficies.

En el análisis de superficies, los puntos en una superficie pueden describirse no solo con respecto a las coordenadas tridimensionales del espacio en el que se considera la superficie, sino también con respecto a un sistema de coordenadas intrínseco definido en términos de un sistema de curvas en la superficie misma. 

Las curvas en la superficie que representan localmente las distancias más cortas entre los puntos en la superficie se llaman geodésicas; las geodésicas en un plano son líneas rectas. 

Los vectores tangentes y normales también se definen para una superficie, pero las relaciones entre ellos son más complejas que para una curva de espacio (por ejemplo, una superficie tiene un círculo completo de vectores unitarios tangentes a ella en un punto dado).

Los resultados de la teoría de las superficies se expresan más fácilmente en la notación de los tensores .

Se encuentra que la curvatura total, o gaussiana, de una superficie es un invariante de flexión, es decir, una propiedad intrínseca de la superficie en sí, independiente del espacio en el que se puede considerar la superficie. 

De particular importancia son las superficies de curvatura constante; los planos, cilindros, conos y otras denominadas superficies desarrollables tienen curvatura cero, mientras que los planos elíptico e hiperbólico de la geometria no euclidea son superficies de curvatura constante constante y negativa, respectivamente.

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