¿Cuáles son las leyes de De Morgan?

Las estadísticas matemáticas a veces requieren el uso de la teoría de conjuntos. Las leyes de De Morgan son dos afirmaciones que describen las interacciones entre varias operaciones de teoría de conjuntos. Las leyes son que para cualquiera de los dos conjuntos A y B :

  1. ( AB ) C = A C U B C.
  2. ( A U B ) C = A CB C.

Después de explicar lo que significa cada una de estas afirmaciones, veremos un ejemplo de cada una de estas que se utilizan.



Para entender lo que dicen las leyes de De Morgan, debemos recordar algunas definiciones de las operaciones de la teoría de conjuntos. Específicamente, debemos conocer la union y la interseccion de dos conjuntos y el complemento de un conjunto.

Las leyes de De Morgan se relacionan con la interacción de la unión, la intersección y el complemento. Recordar que:

  • La intersección de los conjuntos A y B consta de todos los elementos que son comunes a A y B. La intersección se denota por AB.
  • La unión de los conjuntos A y B consiste en todos los elementos que están en A o B , incluidos los elementos en ambos conjuntos. La intersección se denota por AU B.
  • El complemento del conjunto A consiste en todos los elementos que no son elementos de A. Este complemento se denota por A C.

Ahora que hemos recordado estas operaciones elementales, veremos la declaración de las Leyes de De Morgan. Para cada par de sets A y B tenemos:

  1. ( AB ) C = A C U B C
  2. ( A U B ) C = A CB C

Estas dos afirmaciones pueden ilustrarse mediante el uso de diagramas de Venn. Como se ve a continuación, podemos demostrarlo usando un ejemplo. Para demostrar que estas afirmaciones son ciertas, debemos probarlas usando definiciones de operaciones de teoría de conjuntos.



Por ejemplo, considere el conjunto de numeros reales de 0 a 5. Escribimos esto en notación de intervalo [0, 5]. Dentro de este conjunto tenemos A = [1, 3] y B = [2, 4]. Además, después de aplicar nuestras operaciones elementales tenemos:

  • El complemento A C = [0, 1) U (3, 5]
  • El complemento B C = [0, 2) U (4, 5]
  • La unión A U B = [1, 4]
  • La intersección AB = [2, 3]

Comenzamos calculando la unión A C U B C. Vemos que la unión de [0, 1) U (3, 5] con [0, 2) U (4, 5] es [0, 2) U (3, 5]. La intersección AB es [2 , 3]. Vemos que el complemento de este conjunto [2, 3] también es [0, 2) U (3, 5]. De esta manera, hemos demostrado que A C U B C = ( AB ) C .

Ahora vemos la intersección de [0, 1) U (3, 5] con [0, 2) U (4, 5] es [0, 1) U (4, 5]. También vemos que el complemento de [ 1, 4] también es [0, 1) U (4, 5]. De esta manera, hemos demostrado que A CB C = ( A U B ) C.



A lo largo de la historia de la lógica, personas como Aristoteles y Guillermo de Ockham han hecho declaraciones equivalentes a las Leyes de De Morgan.

Las leyes de De Morgan llevan el nombre de Augustus De Morgan, que vivió desde 1806 hasta 1871. Aunque no descubrió estas leyes, fue el primero en introducir estas afirmaciones formalmente utilizando una formulación matemática en la lógica proposicional.

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