La epoca del precalculus

El período precalculus


En su tratado Geometria Indivisibilibus Continuorum (1635; "Geometría de los indivisibles continuos"), Bonaventura Cavalieri, profesor de matemáticas en la Universidad de Bolonia, formuló un método sistemático para la determinación de áreas y volúmenes. Al igual que Arquímedes, Cavalieri consideraba que una figura plana estaba compuesta por una colección de líneas indivisibles, "todas las líneas" de la figura del avión. La colección fue generada por una línea fija que se mueve a través del espacio en paralelo a sí misma. Cavalieri demostró que estas colecciones podrían interpretarse como magnitudes que obedecen a las reglas de la teoría de la relación euclidiana. En la proposición 4 del Libro II, él derivó el resultado que está escrito hoy como

Deje que se le dé un paralelogramo en el que se dibuja una diagonal; entonces "todos los cuadrados" del paralelogramo serán triples "todos los cuadrados" de cada uno de los triángulos determinados por la diagonal.

Cavalieri demostró que esta proposición podría interpretarse de diferentes maneras, como afirmar, por ejemplo, que el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro circunscrito  o que el área debajo de un segmento de una parábola es un tercio del área del rectángulo asociado. En un tratado posterior generalizó el resultado demostrando

problema, usando un resultado equivalente al teorema binomial para exponentes integrales. Las ideas involucradas fueron más allá de todo lo que había aparecido en la teoría clásica del contenido de Arquímedes.

Aunque Cavalieri tuvo éxito en la formulación de un método sistemático basado en conceptos generales, sus ideas no fueron fáciles de aplicar. La derivación de resultados muy simples requirió intrincadas consideraciones geométricas, y el estilo turgente de Geometria Indivisibilibus fue una barrera para su recepción.

John Wallis presentó un enfoque bastante diferente de la teoría de las cuadraturas en su Arithmetica Infinitorum (1655; La aritmética de los infinitesimales). Wallis, un sucesor de Henry Briggs como el Savilian Professor of Geometry en Oxford, fue un campeón de los nuevos métodos de álgebra aritmética que había aprendido de su maestro William Oughtred. Wallis expresó el área bajo una curva como la suma de una serie infinita y usó inducciones inteligentes y no rigurosas para determinar su valor. Para calcular el área debajo de la parábola,

él consideró las sumas sucesivas

e inferido por "inducción" la relación general

Al dejar que el número de términos sea infinito, obtuvo 1/3 como el valor límite de la expresión. Con curvas más complicadas, logró resultados muy impresionantes, incluida la expresión infinita ahora conocida como producto de Wallis:


La investigación sobre la determinación de las tangentes, el otro sujeto que condujo al cálculo, se desarrolló en diferentes líneas. En La Géométrie, Descartes había presentado un método que, en principio, podría aplicarse a cualquier curva algebraica o "geométrica", es decir, cualquier curva cuya ecuación fuera un polinomio de grado finito en dos variables. El método dependía de encontrar la normal, la línea perpendicular a la tangente, usando la condición algebraica de que sea el radio único para intersecar la curva en un solo punto. El método de Descartes fue simplificado por Hudde, un miembro del grupo de matemáticos de Leiden, y se publicó en 1659 en la edición de Van Géotot de La Géométrie.

Una clase de curvas de creciente interés en el siglo XVII comprendía aquellas generadas cinemáticamente por un punto que se movía a través del espacio. La famosa curva cicloidal, por ejemplo, fue trazada por un punto en el perímetro de una rueda que rodó sobre una línea sin deslizarse o deslizarse. Estas curvas no eran algebraicas y, por lo tanto, no podían tratarse con el método de Descartes. Gilles Personne de Roberval, profesor en el Collège Royale de París, ideó un método tomado de la dinámica para determinar sus tangentes. En su análisis del movimiento del proyectil, Galileo había demostrado que la velocidad instantánea de una partícula se compone de dos movimientos separados: un movimiento horizontal constante y un movimiento vertical creciente debido a la gravedad. Si el movimiento del punto generador de una curva cinemática también se considera como la suma de dos velocidades, entonces la tangente se encontrará en la dirección de su suma. Roberval aplicó esta idea a varias curvas cinemáticas diferentes, obteniendo resultados que a menudo eran ingeniosos y elegantes.


En un ensayo de 1636 circulado entre matemáticos franceses, Fermat presentó un método de tangentes adaptado de un procedimiento que había ideado para determinar máximos y mínimos y lo utilizó para encontrar tangentes a varias curvas algebraicas de la forma y = xn. Su cuenta era breve y no contenía ninguna explicación de la base matemática del nuevo método. Es posible ver en su procedimiento un argumento que involucra infinitesimales, y Fermat a veces ha sido proclamado el descubridor del cálculo diferencial. El estudio histórico moderno, sin embargo, sugiere que estaba trabajando con conceptos introducidos por Viète y que su método se basaba en ideas algebraicas finitas.

Isaac Barrow, el profesor Lucasiano de Matemáticas en la Universidad de Cambridge, publicó en 1670 sus Conferencias Geométricas, un tratado que más que cualquier otro anticipaba las ideas unificadoras del cálculo. En él adoptó una forma de exposición puramente geométrica para mostrar cómo las determinaciones de áreas y tangentes son problemas inversos. Comenzó con una curva y consideró la pendiente de su tangente correspondiente a cada valor de la abscisa. Luego definió una curva auxiliar por la condición de que su ordenada fuera igual a esta pendiente y mostró que el área bajo la curva auxiliar correspondiente a una abscisa determinada es igual al rectángulo cuyos lados son la unidad y la ordenada de la curva original. Cuando se reformula analíticamente, este resultado expresa el carácter inverso de la diferenciación y la integración, el teorema fundamental del cálculo . Aunque la decisión de Barrow de proceder geométricamente le impidió dar el paso final hacia un verdadero cálculo, sus conferencias influyeron tanto en Newton como en Leibniz.


(0 votes)