El calculo numerico medieval

Cálculo numérico


El desarrollo de nuevos métodos de cálculo numérico fue una respuesta a las mayores demandas prácticas de computación numérica, particularmente en trigonometría, navegación y astronomía. Las nuevas ideas se extendieron rápidamente por toda Europa y dieron lugar en 1630 a una gran revolución en la práctica numérica.

Simon Stevin de Holanda, en su breve folleto La Disme (1585), introdujo fracciones decimales en Europa y mostró cómo extender los principios de la aritmética hindú-arábiga al cálculo con estos números. Stevin enfatizó la utilidad de la aritmética decimal "para todos los relatos que se encuentran en los asuntos de los hombres", y explicó en un apéndice cómo se podría aplicar a la topografía, la estereometría.

la astronomía y la medición. Su idea era extender el principio posicional de base 10 a números con partes fraccionales, con la correspondiente extensión de notación para cubrir estos casos. En su sistema se denotaba el número 237.578

en el que los dígitos a la izquierda del cero son la parte integral del número. A la derecha del cero están los dígitos de la parte fraccionaria, con cada dígito con un número en un círculo que indica la potencia negativa a la que se eleva 10. Stevin mostró cómo la aritmética habitual de los números enteros podía extenderse a fracciones decimales, usando reglas que determinaban el posicionamiento de las potencias negativas de 10.


Además de su utilidad práctica, La Disme fue importante por la forma en que socavó el estilo dominante de la geometría clásica griega en las matemáticas teóricas. La propuesta de Stevin requería un rechazo de la distinción en la geometría euclidiana entre la magnitud, que es continua, y el número, que es una multitud de unidades indivisibles. Para Euclides, la unidad, o uno, era un tipo especial de cosas, no un número sino el origen, o principio, del número. La introducción de fracciones decimales parecía implicar que la unidad podía subdividirse y que la magnitud arbitraria continua podía representarse numéricamente; Supone implícitamente el concepto de un número real positivo general.

Las tablas de logaritmos se publicaron por primera vez en 1614 por el laird escocés John Napier en su tratado Descripción del canon maravilloso de los logaritmos. Este trabajo fue seguido (póstumamente) cinco años después por otro en el que Napier estableció los principios utilizados en la construcción de sus tablas. La idea básica detrás de los logaritmos es que la suma y la resta son más fáciles de realizar que la multiplicación y la división, que, como observó Napier, requieren un "gasto tedioso de tiempo" y están sujetas a "errores deslizantes". Según la ley de exponentes, anam = an + m; es decir, en la multiplicación de números, los exponentes están relacionados aditivamente. Al correlacionar la secuencia geométrica de los números a, a2, a3, ... (a se llama base) y la secuencia aritmética 1, 2, 3, ... e interpolando a valores fraccionarios, es posible reducir el problema de multiplicación y división a uno de suma y resta. Para hacer esto, Napier eligió una base que estaba muy cerca de 1, que difería de ella por solo 1/107. La secuencia geométrica resultante, por lo tanto, arrojó un conjunto denso de valores, adecuados para construir una tabla.

En su trabajo de 1619 Napier presentó un interesante modelo cinemático para generar las secuencias geométricas y aritméticas utilizadas en la construcción de sus tablas. Supongamos que dos partículas se mueven a lo largo de líneas separadas de los puntos iniciales dados. Las partículas comienzan a moverse en el mismo instante con la misma velocidad. La primera partícula continúa moviéndose con una velocidad que está disminuyendo, proporcional en cada instante a la distancia que queda entre él y algún punto fijo dado en la línea. La segunda partícula se mueve con una velocidad constante igual a su velocidad inicial. Dado cualquier incremento de tiempo, las distancias recorridas por la primera partícula en incrementos sucesivos forman una secuencia geométricamente decreciente. Las distancias correspondientes recorridas por la segunda partícula forman una secuencia aritméticamente creciente. Napier pudo usar este modelo para derivar teoremas que proporcionaban límites precisos para aproximar los valores en las dos secuencias.

El modelo cinemático de Napier indicaba cuán expertos matemáticos se habían convertido a principios del siglo XVII en el análisis del movimiento no uniforme. Las ideas cinemáticas, que aparecían con frecuencia en las matemáticas de la época, proporcionaron un medio claro y visible para la generación de la magnitud geométrica. La concepción de una curva trazada por una partícula que se mueve a través del espacio más tarde jugó un papel importante en el desarrollo del cálculo.


Las ideas de Napier fueron tomadas y revisadas por el matemático inglés Henry Briggs, el primer profesor Saviliano de Geometría en Oxford. En 1624, Briggs publicó una extensa tabla de logaritmos comunes o logaritmos en la base 10. Debido a que la base ya no era cercana a 1, la tabla no podía obtenerse tan simplemente como la de Napier, y Briggs ideó técnicas que involucraban el cálculo de diferencias finitas para facilitar el cálculo de las entradas. También ideó procedimientos de interpolación de gran eficiencia computacional para obtener valores intermedios.

En Suiza, el fabricante de instrumentos Joost Bürgi llegó a la idea de los logaritmos independientemente de Napier, aunque no publicó sus resultados hasta 1620. Cuatro años más tarde apareció en Marburgo una tabla de logaritmos preparados por Kepler. Tanto Bürgi como Kepler fueron observadores astronómicos, y Kepler incluyó tablas logarítmicas en su famosa Tabulae Rudolphinae (1627; "Tablas de Rudolphine"), tabulaciones astronómicas del movimiento planetario derivadas del uso de la suposición de órbitas elípticas sobre el Sol.


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