¿Cual es el argumento epistemológico contra el platonismo y su relación con la matemática?

El argumento epistemológico contra el platonismo


El argumento epistemológico es muy simple. Se basa en la idea de que, de acuerdo con el platonismo, el conocimiento matemático es conocimiento de objetos abstractos, pero no parece haber ninguna forma para que los humanos adquieran conocimiento de objetos abstractos. El argumento para la afirmación de que los humanos no pueden adquirir conocimiento de los objetos abstractos procede de la siguiente manera:

(1) Los humanos existen completamente dentro del espacio-tiempo.
(2) Si existen objetos abstractos, entonces existen completamente fuera del espacio-tiempo.
(3) Por lo tanto, parece que los humanos nunca podrían adquirir conocimiento de objetos abstractos.
Hay tres formas para que los platónicos respondan a este argumento. Pueden rechazar (1), pueden rechazar (2), o pueden aceptar (1) y (2) y explicar por qué el sonido muy plausible (3) es, sin embargo, falso.

Los platónicos que rechazan (1) sostienen que la mente humana no es completamente física y que es capaz de forjar de alguna manera el contacto con objetos abstractos y, por lo tanto, adquirir información sobre tales objetos. Esta estrategia fue perseguida por Platón y Gödel. Según Platón, las personas tienen almas inmateriales, y antes de nacer sus almas adquieren el conocimiento de los objetos abstractos, de modo que el aprendizaje matemático es realmente solo un proceso de recuerdo. Para Gödel, los humanos adquieren información sobre los objetos abstractos por medio de una facultad de intuición matemática, de forma muy similar a como la información sobre los objetos físicos se adquiere a través de la percepción sensorial.


Los platónicos que rechazan (2) alteran la visión platónica tradicional y sostienen que, aunque los objetos abstractos no son físicos ni nomentales, aún se encuentran en el espacio-tiempo; por lo tanto, de acuerdo con este punto de vista, el conocimiento de los objetos abstractos se puede adquirir a través de las percepciones sensoriales ordinarias. Maddy desarrolló esta idea en relación con los conjuntos. Ella afirmó que los conjuntos de objetos físicos están localizados espaciotemporalmente y que, debido a esto, las personas pueden percibirlos, es decir, verlos y probarlos, etc. Por ejemplo, supongamos que Maddy está mirando tres huevos. Según su punto de vista, ella puede ver no solo los tres huevos sino también el juego que los contiene. Por lo tanto, ella sabe que este conjunto tiene tres miembros simplemente al mirarlo, de forma análoga a la forma en que sabe que uno de los huevos es blanco simplemente mirándolo.

Los platónicos que aceptan tanto (1) como (2) niegan que los humanos tengan algún tipo de contacto de recolección de información con objetos abstractos en la forma propuesta por Platón, Gödel y Maddy; pero estos platónicos aún piensan que los humanos pueden adquirir conocimiento de objetos abstractos. Una estrategia que los platónicos han usado aquí es argumentar que las personas adquieren conocimiento de objetos matemáticos abstractos al adquirir evidencia de la verdad de sus teorías científicas empíricas; la idea es que esta evidencia proporciona razones para creer toda la ciencia empírica, y la ciencia incluye afirmaciones sobre objetos matemáticos. Otro enfoque, desarrollado por Resnik y Shapiro, es afirmar que los humanos pueden adquirir conocimiento de las estructuras matemáticas por medio de la facultad de reconocimiento de patrones. Ellos afirman que las estructuras matemáticas no son más que patrones, y los humanos claramente tienen la habilidad de reconocer patrones.


Otra estrategia, la del platonismo de pura sangre, se basa en la afirmación de que los platónicos deberían respaldar la tesis de que todos los objetos matemáticos que posiblemente podrían existir realmente existen. Según Balaguer, si el platonismo de pura sangre es cierto, entonces el conocimiento de los objetos abstractos se puede obtener sin la ayuda de ningún contacto de transferencia de información con tales objetos. En particular, el conocimiento de los objetos abstractos podría obtenerse mediante el siguiente método de dos pasos (que corresponde a la metodología real de los matemáticos): primero, estipular qué estructuras matemáticas se van a teorizar formulando algunos axiomas que caractericen las estructuras de interés; y segundo, deducir hechos sobre estas estructuras demostrando teoremas de los axiomas dados.

Por ejemplo, si los matemáticos desean estudiar la secuencia de enteros no negativos, pueden comenzar con axiomas que elaboran su estructura. Por lo tanto, los axiomas podrían decir que hay un primer número único (es decir, 0), que cada número tiene un único sucesor, que cada número distinto de cero tiene un predecesor único, y así sucesivamente. Entonces, a partir de estos axiomas, se pueden probar teoremas, por ejemplo, que hay infinitos números primos. Esto es, de hecho, cómo los matemáticos realmente proceden.

El punto aquí es que los platónicos de pura sangre pueden mantener que al proceder de esta manera, los matemáticos adquieren conocimiento de objetos abstractos sin la ayuda de ningún contacto de transferencia de información con tales objetos. Dicho de otra manera, sostienen que lo que los matemáticos han descubierto es que, en la secuencia de enteros no negativos (por lo cual solo se entiende la parte o partes del ámbito matemático que los matemáticos tienen en mente cuando seleccionan los axiomas estándar de la aritmética), hay infinitamente muchos números primos Sin el platonismo de pura sangre esto no se puede decir, porque los platónicos tradicionales no tienen respuesta a la pregunta "¿Cómo saben los matemáticos qué sistemas de axiomas describen el reino matemático?"

En contraste, esta visión implica que todos los sistemas de axiomas internamente consistentes describen con precisión partes del dominio matemático. Por lo tanto, los platónicos de pura sangre pueden decir que cuando los matemáticos establecen sistemas axiomáticos, todo lo que hacen es estipular de qué partes del dominio matemático quieren hablar. Entonces pueden adquirir conocimiento de esas partes simplemente probando teoremas a partir de los axiomas dados.


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