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La importancia del estudio de las moléculas poliatomicas

Importancia en el estudio de moléculas poliatómicas
Este segundo punto, la distinción de los espectros vibratorios de moléculas isotópicamente diferentes, es de gran importancia en el estudio de moléculas poliatómicas (moléculas que contienen tres o más átomos). Una cuestión clave para los químicos es la naturaleza de las vibraciones en las moléculas poliatómicas: ¿cómo oscilan los núcleos de los átomos entre sí? La respuesta a esta pregunta concuerda fuertemente con las formas transitorias que la molécula puede asumir, cómo reaccionará con otras moléculas y la velocidad a la que lo hará.


Por lo general, es imposible obtener esta información de un estudio de los espectros vibratorios de moléculas hechas de átomos a niveles de abundancia natural. Afortunadamente, la sustitución sistemática de isótopos más pesados en puntos conocidos en moléculas poliatómicas da lugar a nuevos conjuntos de espectros vibratorios que aclaran la naturaleza de los movimientos atómicos.


Existe una segunda razón fundamental para investigar los espectros vibracionales de las moléculas sustituidas isotópicamente o "etiquetadas". Al interpretar los espectros, los espectroscopistas se basan en los resultados matemáticos de la teoría cuántica. A menudo, un análisis detallado de los espectros vibratorios de las moléculas etiquetadas ofrece los mejores medios para probar la solidez de la comprensión teórica predominante de las moléculas.


La epoca del precalculus

El período precalculus


En su tratado Geometria Indivisibilibus Continuorum (1635; "Geometría de los indivisibles continuos"), Bonaventura Cavalieri, profesor de matemáticas en la Universidad de Bolonia, formuló un método sistemático para la determinación de áreas y volúmenes. Al igual que Arquímedes, Cavalieri consideraba que una figura plana estaba compuesta por una colección de líneas indivisibles, "todas las líneas" de la figura del avión. La colección fue generada por una línea fija que se mueve a través del espacio en paralelo a sí misma. Cavalieri demostró que estas colecciones podrían interpretarse como magnitudes que obedecen a las reglas de la teoría de la relación euclidiana. En la proposición 4 del Libro II, él derivó el resultado que está escrito hoy como

Deje que se le dé un paralelogramo en el que se dibuja una diagonal; entonces "todos los cuadrados" del paralelogramo serán triples "todos los cuadrados" de cada uno de los triángulos determinados por la diagonal.

Cavalieri demostró que esta proposición podría interpretarse de diferentes maneras, como afirmar, por ejemplo, que el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro circunscrito  o que el área debajo de un segmento de una parábola es un tercio del área del rectángulo asociado. En un tratado posterior generalizó el resultado demostrando

problema, usando un resultado equivalente al teorema binomial para exponentes integrales. Las ideas involucradas fueron más allá de todo lo que había aparecido en la teoría clásica del contenido de Arquímedes.

Aunque Cavalieri tuvo éxito en la formulación de un método sistemático basado en conceptos generales, sus ideas no fueron fáciles de aplicar. La derivación de resultados muy simples requirió intrincadas consideraciones geométricas, y el estilo turgente de Geometria Indivisibilibus fue una barrera para su recepción.

John Wallis presentó un enfoque bastante diferente de la teoría de las cuadraturas en su Arithmetica Infinitorum (1655; La aritmética de los infinitesimales). Wallis, un sucesor de Henry Briggs como el Savilian Professor of Geometry en Oxford, fue un campeón de los nuevos métodos de álgebra aritmética que había aprendido de su maestro William Oughtred. Wallis expresó el área bajo una curva como la suma de una serie infinita y usó inducciones inteligentes y no rigurosas para determinar su valor. Para calcular el área debajo de la parábola,

él consideró las sumas sucesivas

e inferido por "inducción" la relación general

Al dejar que el número de términos sea infinito, obtuvo 1/3 como el valor límite de la expresión. Con curvas más complicadas, logró resultados muy impresionantes, incluida la expresión infinita ahora conocida como producto de Wallis:


La investigación sobre la determinación de las tangentes, el otro sujeto que condujo al cálculo, se desarrolló en diferentes líneas. En La Géométrie, Descartes había presentado un método que, en principio, podría aplicarse a cualquier curva algebraica o "geométrica", es decir, cualquier curva cuya ecuación fuera un polinomio de grado finito en dos variables. El método dependía de encontrar la normal, la línea perpendicular a la tangente, usando la condición algebraica de que sea el radio único para intersecar la curva en un solo punto. El método de Descartes fue simplificado por Hudde, un miembro del grupo de matemáticos de Leiden, y se publicó en 1659 en la edición de Van Géotot de La Géométrie.

Una clase de curvas de creciente interés en el siglo XVII comprendía aquellas generadas cinemáticamente por un punto que se movía a través del espacio. La famosa curva cicloidal, por ejemplo, fue trazada por un punto en el perímetro de una rueda que rodó sobre una línea sin deslizarse o deslizarse. Estas curvas no eran algebraicas y, por lo tanto, no podían tratarse con el método de Descartes. Gilles Personne de Roberval, profesor en el Collège Royale de París, ideó un método tomado de la dinámica para determinar sus tangentes. En su análisis del movimiento del proyectil, Galileo había demostrado que la velocidad instantánea de una partícula se compone de dos movimientos separados: un movimiento horizontal constante y un movimiento vertical creciente debido a la gravedad. Si el movimiento del punto generador de una curva cinemática también se considera como la suma de dos velocidades, entonces la tangente se encontrará en la dirección de su suma. Roberval aplicó esta idea a varias curvas cinemáticas diferentes, obteniendo resultados que a menudo eran ingeniosos y elegantes.


En un ensayo de 1636 circulado entre matemáticos franceses, Fermat presentó un método de tangentes adaptado de un procedimiento que había ideado para determinar máximos y mínimos y lo utilizó para encontrar tangentes a varias curvas algebraicas de la forma y = xn. Su cuenta era breve y no contenía ninguna explicación de la base matemática del nuevo método. Es posible ver en su procedimiento un argumento que involucra infinitesimales, y Fermat a veces ha sido proclamado el descubridor del cálculo diferencial. El estudio histórico moderno, sin embargo, sugiere que estaba trabajando con conceptos introducidos por Viète y que su método se basaba en ideas algebraicas finitas.

Isaac Barrow, el profesor Lucasiano de Matemáticas en la Universidad de Cambridge, publicó en 1670 sus Conferencias Geométricas, un tratado que más que cualquier otro anticipaba las ideas unificadoras del cálculo. En él adoptó una forma de exposición puramente geométrica para mostrar cómo las determinaciones de áreas y tangentes son problemas inversos. Comenzó con una curva y consideró la pendiente de su tangente correspondiente a cada valor de la abscisa. Luego definió una curva auxiliar por la condición de que su ordenada fuera igual a esta pendiente y mostró que el área bajo la curva auxiliar correspondiente a una abscisa determinada es igual al rectángulo cuyos lados son la unidad y la ordenada de la curva original. Cuando se reformula analíticamente, este resultado expresa el carácter inverso de la diferenciación y la integración, el teorema fundamental del cálculo . Aunque la decisión de Barrow de proceder geométricamente le impidió dar el paso final hacia un verdadero cálculo, sus conferencias influyeron tanto en Newton como en Leibniz.


El calculo numerico medieval

Cálculo numérico


El desarrollo de nuevos métodos de cálculo numérico fue una respuesta a las mayores demandas prácticas de computación numérica, particularmente en trigonometría, navegación y astronomía. Las nuevas ideas se extendieron rápidamente por toda Europa y dieron lugar en 1630 a una gran revolución en la práctica numérica.

Simon Stevin de Holanda, en su breve folleto La Disme (1585), introdujo fracciones decimales en Europa y mostró cómo extender los principios de la aritmética hindú-arábiga al cálculo con estos números. Stevin enfatizó la utilidad de la aritmética decimal "para todos los relatos que se encuentran en los asuntos de los hombres", y explicó en un apéndice cómo se podría aplicar a la topografía, la estereometría.

la astronomía y la medición. Su idea era extender el principio posicional de base 10 a números con partes fraccionales, con la correspondiente extensión de notación para cubrir estos casos. En su sistema se denotaba el número 237.578

en el que los dígitos a la izquierda del cero son la parte integral del número. A la derecha del cero están los dígitos de la parte fraccionaria, con cada dígito con un número en un círculo que indica la potencia negativa a la que se eleva 10. Stevin mostró cómo la aritmética habitual de los números enteros podía extenderse a fracciones decimales, usando reglas que determinaban el posicionamiento de las potencias negativas de 10.


Además de su utilidad práctica, La Disme fue importante por la forma en que socavó el estilo dominante de la geometría clásica griega en las matemáticas teóricas. La propuesta de Stevin requería un rechazo de la distinción en la geometría euclidiana entre la magnitud, que es continua, y el número, que es una multitud de unidades indivisibles. Para Euclides, la unidad, o uno, era un tipo especial de cosas, no un número sino el origen, o principio, del número. La introducción de fracciones decimales parecía implicar que la unidad podía subdividirse y que la magnitud arbitraria continua podía representarse numéricamente; Supone implícitamente el concepto de un número real positivo general.

Las tablas de logaritmos se publicaron por primera vez en 1614 por el laird escocés John Napier en su tratado Descripción del canon maravilloso de los logaritmos. Este trabajo fue seguido (póstumamente) cinco años después por otro en el que Napier estableció los principios utilizados en la construcción de sus tablas. La idea básica detrás de los logaritmos es que la suma y la resta son más fáciles de realizar que la multiplicación y la división, que, como observó Napier, requieren un "gasto tedioso de tiempo" y están sujetas a "errores deslizantes". Según la ley de exponentes, anam = an + m; es decir, en la multiplicación de números, los exponentes están relacionados aditivamente. Al correlacionar la secuencia geométrica de los números a, a2, a3, ... (a se llama base) y la secuencia aritmética 1, 2, 3, ... e interpolando a valores fraccionarios, es posible reducir el problema de multiplicación y división a uno de suma y resta. Para hacer esto, Napier eligió una base que estaba muy cerca de 1, que difería de ella por solo 1/107. La secuencia geométrica resultante, por lo tanto, arrojó un conjunto denso de valores, adecuados para construir una tabla.

En su trabajo de 1619 Napier presentó un interesante modelo cinemático para generar las secuencias geométricas y aritméticas utilizadas en la construcción de sus tablas. Supongamos que dos partículas se mueven a lo largo de líneas separadas de los puntos iniciales dados. Las partículas comienzan a moverse en el mismo instante con la misma velocidad. La primera partícula continúa moviéndose con una velocidad que está disminuyendo, proporcional en cada instante a la distancia que queda entre él y algún punto fijo dado en la línea. La segunda partícula se mueve con una velocidad constante igual a su velocidad inicial. Dado cualquier incremento de tiempo, las distancias recorridas por la primera partícula en incrementos sucesivos forman una secuencia geométricamente decreciente. Las distancias correspondientes recorridas por la segunda partícula forman una secuencia aritméticamente creciente. Napier pudo usar este modelo para derivar teoremas que proporcionaban límites precisos para aproximar los valores en las dos secuencias.

El modelo cinemático de Napier indicaba cuán expertos matemáticos se habían convertido a principios del siglo XVII en el análisis del movimiento no uniforme. Las ideas cinemáticas, que aparecían con frecuencia en las matemáticas de la época, proporcionaron un medio claro y visible para la generación de la magnitud geométrica. La concepción de una curva trazada por una partícula que se mueve a través del espacio más tarde jugó un papel importante en el desarrollo del cálculo.


Las ideas de Napier fueron tomadas y revisadas por el matemático inglés Henry Briggs, el primer profesor Saviliano de Geometría en Oxford. En 1624, Briggs publicó una extensa tabla de logaritmos comunes o logaritmos en la base 10. Debido a que la base ya no era cercana a 1, la tabla no podía obtenerse tan simplemente como la de Napier, y Briggs ideó técnicas que involucraban el cálculo de diferencias finitas para facilitar el cálculo de las entradas. También ideó procedimientos de interpolación de gran eficiencia computacional para obtener valores intermedios.

En Suiza, el fabricante de instrumentos Joost Bürgi llegó a la idea de los logaritmos independientemente de Napier, aunque no publicó sus resultados hasta 1620. Cuatro años más tarde apareció en Marburgo una tabla de logaritmos preparados por Kepler. Tanto Bürgi como Kepler fueron observadores astronómicos, y Kepler incluyó tablas logarítmicas en su famosa Tabulae Rudolphinae (1627; "Tablas de Rudolphine"), tabulaciones astronómicas del movimiento planetario derivadas del uso de la suposición de órbitas elípticas sobre el Sol.


La matemática en el siglo XVII

El siglo XVII


El siglo XVII, el período de la revolución científica, fue testigo de la consolidación de la astronomía heliocéntrica copernicana y del establecimiento de la física inercial en la obra de Johannes Kepler, Galileo, René Descartes e Isaac Newton. Este período también fue de intensa actividad e innovación en matemáticas. Los avances en el cálculo numérico, el desarrollo del álgebra simbólica y la geometría analítica, y la invención del cálculo diferencial e integral dieron como resultado una gran expansión de las áreas temáticas de las matemáticas. A fines del siglo XVII, un programa de investigación basado en análisis había reemplazado a la geometría clásica griega en el centro de las matemáticas avanzadas. En el próximo siglo, este programa continuará desarrollándose en estrecha asociación con la física, más particularmente la mecánica y la astronomía teórica. El uso extensivo de métodos analíticos, la incorporación de sujetos aplicados y la adopción de una actitud pragmática ante cuestiones de rigor lógico distinguieron a las nuevas matemáticas de la geometría tradicional.


Antecedentes institucionales
Hasta mediados del siglo XVII, los matemáticos trabajaban solos o en pequeños grupos, publicando sus trabajos en libros o comunicándose con otros investigadores por carta. En un momento en que las personas solían demorar en publicar, las "universidades invisibles", redes de científicos que se correspondían en privado, desempeñaban un papel importante en la coordinación y el estímulo de la investigación matemática. Marin Mersenne en París actuó como centro de intercambio de nuevos resultados, informando a sus numerosos corresponsales, incluidos Pierre de Fermat, Descartes, Blaise Pascal, Gilles Personne de Roberval y Galileo, de los problemas de desafío y las soluciones novedosas. Más tarde en el siglo, John Collins, bibliotecario de la Royal Society de Londres, realizó una función similar entre los matemáticos británicos.


En 1660 se fundó la Royal Society of London, seguida en 1666 por la Academia Francesa de Ciencias, en 1700 por la Academia de Berlín y en 1724 por la Academia de San Petersburgo. Las publicaciones oficiales patrocinadas por las academias, así como las revistas independientes como el Acta Eruditorum (fundado en 1682), hicieron posible la comunicación abierta y rápida de los resultados de la investigación. Aunque las universidades en el siglo XVII proporcionaron algo de apoyo para las matemáticas, se volvieron cada vez más ineficaces a medida que las academias apoyadas por el estado asumieron la dirección de la investigación avanzada.


La matemática en el renacimiento

El Renacimiento


Los artistas y comerciantes italianos influyeron en las matemáticas de la Baja Edad Media y el Renacimiento de varias maneras. En el siglo XV, un grupo de artistas toscanos, entre ellos Filippo Brunelleschi, Leon Battista Alberti y Leonardo da Vinci, incorporaron una perspectiva lineal en su práctica y enseñanza, aproximadamente un siglo antes de que el tema fuera tratado formalmente por matemáticos. El maestro italiano d'abbaco intentó, aunque sin éxito, resolver ecuaciones cúbicas no triviales. De hecho, la primera solución general fue encontrada por Scipione del Ferro a principios del siglo XVI y redescubierta por Niccolò Tartaglia varios años después. La solución fue publicada por Gerolamo Cardano en su Ars magna (Ars Magna o las Reglas de Algebra) en 1545, junto con la solución de Lodovico Ferrari de la ecuación cuártica.


Hacia 1380 se había desarrollado un simbolismo algebraico en Italia en el que se usaban letras para lo desconocido, para su cuadrado y para las constantes. Los símbolos utilizados hoy para lo desconocido (por ejemplo, x), el signo de raíz cuadrada y los signos + y - se utilizaron en general en el sur de Alemania a partir de 1450. Fueron utilizados por Regiomontanus y por Fridericus Gerhart y recibieron un impulso sobre 1486 en la Universidad de Leipzig de Johann Widman. La idea de distinguir entre cantidades conocidas y desconocidas en álgebra fue aplicada consistentemente por François Viète, con vocales para desconocidos y consonantes para cantidades conocidas. Viète encontró algunas relaciones entre los coeficientes de una ecuación y sus raíces. Esto fue sugestivo de la idea, expuesta explícitamente por Albert Girard en 1629 y probada por Carl Friedrich Gauss en 1799, de que una ecuación de grado n tiene n raíces. Los números complejos, que están implícitos en tales ideas, fueron aceptados gradualmente sobre la época de Rafael Bombelli (fallecido en 1572), quien los usó en relación con el cúbico.


Las cónicas de Apolonio y las investigaciones de áreas (cuadraturas) y de volúmenes (cubaturas) de Arquímedes formaron parte del aprendizaje humanista del siglo XVI. Estos estudios influyeron fuertemente en los desarrollos posteriores de la geometría analítica, el cálculo infinitesimal y la teoría de funciones, temas que se desarrollaron en el siglo XVII.


Las universidades en la edad media y su influencia en la matemática

Las universidades


Las matemáticas se estudiaron desde un punto de vista teórico en las universidades. Las universidades de París y Oxford, que se fundaron relativamente temprano (hacia 1200), eran centros de matemáticas y filosofía. De particular importancia en estas universidades fueron las versiones en árabe de Euclides, de las cuales había al menos cuatro en el siglo XII. De las numerosas redacciones y compendios que se hicieron, la de Johannes Campanus (hacia 1250, impresa por primera vez en 1482) fue la más popular y sirvió de libro de texto durante muchas generaciones. Dichas redacciones de los Elementos fueron hechas para ayudar a los estudiantes no solo a entender el libro de texto de Euclides sino también a manejar otras preguntas, particularmente filosóficas, sugeridas por pasajes en Aristóteles. La teoría de razones de los Elementos proporcionó un medio para expresar las diversas relaciones de las cantidades asociadas con los cuerpos móviles, relaciones que ahora se expresarían mediante fórmulas. También en Euclides se encontraron métodos para analizar el infinito y la continuidad (paradójicamente, porque Euclides siempre evitaba el infinito).


Los estudios de tales preguntas condujeron no solo a nuevos resultados sino también a un nuevo enfoque de lo que ahora se llama física. Thomas Bradwardine, que estuvo activo en Merton College, Oxford, en la primera mitad del siglo XIV, fue uno de los primeros eruditos medievales en preguntarse si el continuo se puede dividir infinitamente o si hay partes más pequeñas (indivisibles). Entre otros temas, comparó diferentes formas geométricas en términos de la multitud de puntos que se suponía que las componían, y a partir de ese enfoque se generaron paradojas que no se debían resolver durante siglos. Otra cuestión fértil derivada de Euclides se refería al ángulo entre un círculo y una línea tangente a él (llamado ángulo del cuerno): si este ángulo no es cero, se produce una contradicción rápidamente, pero, si es cero, entonces, por definición, hay no puede ser un ángulo Para la relación de fuerza, resistencia y la velocidad del cuerpo movido por esta fuerza, Bradwardine sugirió una ley exponencial. Nicholas Oresme (fallecido en 1382) extendió las ideas de Bradwardine a los exponentes fraccionarios.

Otra cuestión que tiene que ver con la cuantificación de las cualidades, la llamada latitud de las formas, comenzó a discutirse en esta época en París y en Merton College. A varias cualidades aristotélicas (por ejemplo, calor, densidad y velocidad) se les asignó una intensidad y extensión, que a veces se representaban por la altura y las bases (respectivamente) de una figura geométrica. El área de la figura se consideró que representaba la cantidad de la calidad. En el caso importante en que la calidad es el movimiento de un cuerpo, la intensidad, la velocidad y la extensión, el área de la figura se tomó para representar la distancia recorrida por el cuerpo. El movimiento uniformemente acelerado que comienza en la velocidad cero da lugar a una figura triangular.

 


La escuela Merton demostró que la cantidad de movimiento en tal caso es igual a la cantidad de un movimiento uniforme a la velocidad alcanzada a la mitad del movimiento acelerado; en la formulación moderna, s = 1 / 2at2 (regla de Merton). Discusiones como esta ciertamente influyeron indirectamente en Galileo y pueden haber influido en la fundación de la geometría coordinada en el siglo XVII. Otro desarrollo importante en los "cálculos" escolásticos fue la suma de series infinitas.


Las matemáticas del siglo IX

Matemáticas en el siglo IX


Thābit ibn Qurrah (836-901), un sabio de Ḥarrān en el norte de Mesopotamia, fue un importante traductor y revisor de estas obras griegas. Además de traducir obras de los principales matemáticos griegos (para los Banū Mūsā, entre otros), era un médico de la corte. También tradujo Nicomachus de la aritmética de Gerasa y descubrió una hermosa regla para encontrar números amistosos, un par de números tal que cada número es la suma del conjunto de divisores adecuados del otro número. La investigación de tales números formó una tradición continua en el Islam. Kamāl al-Dīn al-Fārisī (fallecido hacia 1320) le dio a la pareja 17.926 y 18.416 como un ejemplo del gobierno de Thābit, y en el siglo XVII Muḥammad Bāqir Yazdī le dio a la pareja 9,363,584 y 9,437,056.


Un científico típico del siglo IX fue Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī. Trabajando en la Casa de la Sabiduría, introdujo material indio en sus trabajos astronómicos y también escribió un libro anterior que explica la aritmética hindú, el Libro de la suma y la resta según el cálculo hindú. En otro trabajo, el Libro de Restaurar y Equilibrar, proporcionó una introducción sistemática al álgebra, incluida una teoría de ecuaciones cuadráticas. Ambas obras tuvieron consecuencias importantes para las matemáticas islámicas. El cálculo hindú comenzó una tradición de libros aritméticos que, a mediados del siglo siguiente, condujo a la invención de fracciones decimales (completa con un punto decimal), y Restaurar y equilibrar se convirtió en el punto de partida y modelo para escritores posteriores como el Egipcio Abū Kāmil. Ambos libros fueron traducidos al latín, y Restaurando y Equilibrando fue el origen de la palabra álgebra, de la palabra árabe para "restaurar" en su título (al-jabr). El cálculo hindú, de una forma latina del nombre del autor, algorismi, produjo la palabra algoritmo.


El álgebra de Al-Khwārizmī también sirvió como modelo para los escritores posteriores en su aplicación de la aritmética y el álgebra a la distribución de herencias de acuerdo con los complejos requisitos de la ley religiosa musulmana. Esta tradición de servicio a la fe islámica era una característica duradera del trabajo matemático en el Islam y una que, a los ojos de muchos, justificaba el estudio del aprendizaje secular. En la misma categoría están el método de al-Khwārizmī para calcular el tiempo de visibilidad de la luna nueva (que señala el comienzo del mes musulmán) y las exposiciones de los astrónomos de los métodos para encontrar la dirección de La Meca para las cinco oraciones diarias.


La evaluación de las matemáticas egipcias

Evaluación de las matemáticas egipcias


Así, los papiros son testigos de una tradición matemática estrechamente ligada a las actividades prácticas de contabilidad y estudio de los escribas. Ocasionalmente, los escribas se relajaban un poco: un problema (papiro Rhind, problema 79), por ejemplo, busca el total de siete casas, siete gatos por casa, siete ratones por gato, siete espigas de trigo por ratón y siete hecatés de grano por oreja (resultado: 19,607). Ciertamente, el interés del escriba en las progresiones (para las cuales parece tener una regla) va más allá de las consideraciones prácticas. Aparte de esto, sin embargo, las matemáticas egipcias caen firmemente dentro del rango de la práctica.


Incluso teniendo en cuenta la escasez de la documentación que sobrevive, el logro egipcio en matemáticas debe considerarse modesto. Sus características más llamativas son competencia y continuidad. Los escribas lograron calcular la aritmética básica y la geometría necesarias para sus deberes oficiales como administradores civiles, y sus métodos persistieron con pocos cambios evidentes durante al menos un milenio, tal vez dos. De hecho, cuando Egipto quedó bajo la dominación griega en el período helenístico (desde el siglo tercero a. C. en adelante), los métodos de la escuela más antigua continuaron. Muy notablemente, los métodos más antiguos de fracción de unidades siguen siendo prominentes en los papiros escolares egipcios escritos en las lenguas demótica (egipcia) y griega hasta el siglo VII EC, por ejemplo.


En la medida en que las matemáticas egipcias dejaron un legado, fue a través de su impacto en la tradición matemática griega emergente entre los siglos VI y IV AC. Debido a que la documentación de este período es limitada, la forma y el significado de la influencia solo pueden conjeturarse. Pero el informe sobre Thales midiendo la altura de las pirámides es solo una de varias de esas cuentas de intelectuales griegos aprendiendo de los egipcios; Heródoto y Platón describen con aprobación las prácticas egipcias en la enseñanza y la aplicación de las matemáticas. Esta evidencia literaria tiene apoyo histórico, ya que los griegos mantuvieron operaciones comerciales y militares continuas en Egipto desde el siglo VII aC en adelante. Por lo tanto, es plausible que los precedentes básicos de los primeros esfuerzos matemáticos de los griegos -cómo trataran con partes fraccionarias o áreas y volúmenes medidos, o su uso de proporciones en relación con figuras similares- provinieran del aprendizaje de los antiguos escribas egipcios.


La geometría del antiguo egipto

Geometría


Los problemas geométricos en los papiros buscan medidas de figuras, como rectángulos y triángulos de base y altura dadas, por medio de operaciones aritméticas adecuadas. En un problema más complicado, se busca un rectángulo cuya área es 12 y cuya altura es 1/2 + 1/4 veces su base (papiro Golenishchev, problema 6). Para resolver el problema, la relación se invierte y se multiplica por el área, produciendo 16; la raíz cuadrada del resultado (4) es la base del rectángulo, y 1/2 + 1/4 multiplicado por 4, o 3, es la altura. Todo el proceso es análogo al proceso de resolver la ecuación algebraica para el problema (x × 3 / 4x = 12), aunque sin el uso de una letra para lo desconocido. Se usa un procedimiento interesante para encontrar el área del círculo (papiro Rhind, problema 50): se descarta 1/9 del diámetro y el resultado se cuadra. Por ejemplo, si el diámetro es 9, el área se establece igual a 64. El escriba reconoció que el área de un círculo es proporcional al cuadrado del diámetro y se supone para la constante de proporcionalidad (es decir, π / 4) la valor 64/81. Esta es una estimación bastante buena, siendo aproximadamente 0.6 por ciento demasiado grande. (No está tan cerca, sin embargo, como la estimación común ahora de 31/7, propuesta por primera vez por Arquímedes, que es solo un 0,04 por ciento demasiado grande). Pero no hay nada en los papiros que indique que los escribas sabían que esta regla era solo aproximado en lugar de exacto.


Un resultado notable es la regla para el volumen de la pirámide truncada (papiro de Golenishchev, problema 14). El escriba asume que la altura es 6, la base es un cuadrado del lado 4 y la parte superior es un cuadrado del lado 2. Se multiplica por un tercio la altura por 28, encontrando que el volumen es 56; aquí 28 se calcula a partir de 2 × 2 + 2 × 4 + 4 × 4. Como esto es correcto, se puede suponer que el escriba también conocía la regla general: A = (h / 3) (a2 + ab + b2). Cómo los escribanos realmente derivaron la regla es un tema de debate, pero es razonable suponer que conocían reglas relacionadas, como la del volumen de una pirámide: un tercio de la altura por el área de la base.


Los egipcios emplearon el equivalente de triángulos similares para medir distancias. Por ejemplo, el hundimiento de una pirámide se establece como el número de palmas en la horizontal correspondiente a un aumento de un codo (siete palmas). Por lo tanto, si el desvío es 51/4 y la base es de 140 codos, la altura se convierte en 931/3 codos (papiro Rhind, problema 57). Se dice que el sabio griego Tales de Mileto (siglo VI aC) midió la altura de las pirámides por medio de sus sombras (el informe deriva de Hieronymus, un discípulo de Aristóteles en el siglo IV aC). A la luz de los cálculos separados, sin embargo, este informe debe indicar un aspecto de la prospección egipcia que se remonta al menos 1.000 años antes de la época de Tales.


Matemáticas en el antiguo egipto

Matemáticas en el antiguo Egipto


La introducción de la escritura en Egipto en el período predinástico (hacia el 3000 aC) trajo consigo la formación de una clase especial de profesionales letrados, los escribas. En virtud de sus habilidades de escritura, los escribas asumieron todos los deberes de un servicio civil: mantenimiento de registros, contabilidad fiscal, la gestión de obras públicas (proyectos de construcción y similares), incluso el enjuiciamiento de la guerra a través de la supervisión de suministros militares y nóminas. Los hombres jóvenes se inscribieron en las escuelas de escritura para aprender lo esencial del oficio, que incluía no solo la lectura y la escritura, sino también los conceptos básicos de las matemáticas.


Uno de los textos popular como ejercicio de copia en las escuelas del Nuevo Reino (siglo XIII aC) fue una carta satírica en la que un escriba, Hori, se burla de su rival, Amen-em-opet, por su incompetencia como asesor y gerente . "Eres el escriba inteligente a la cabeza de las tropas", Hori reprende en un punto,

se construirá una rampa de 730 codos de largo, 55 codos de ancho y 120 compartimentos, tiene 60 codos de altura y 30 codos en el medio ... y los generales y los escribas se vuelven hacia ti y te dicen: "Eres un escriba inteligente, tu nombre es famoso ¿Hay algo que no sepas? Conteste, ¿cuántos ladrillos se necesitan? "Deje que cada compartimento sea de 30 codos por 7 codos.

Este problema, y otros tres similares en la misma letra, no se pueden resolver sin más datos. Pero el sentido del humor es claro, ya que Hori reta a su rival con estas tareas difíciles, pero típicas.


Lo que se conoce de las matemáticas egipcias se corresponde bien con las pruebas planteadas por el escriba Hori. La información proviene principalmente de dos largos documentos de papiro que una vez sirvieron como libros de texto dentro de las escuelas de escribanos. El papiro de Rhind (en el Museo Británico) es una copia hecha en el siglo XVII aC de un texto dos siglos más antiguo. En él se encuentra una larga tabla de partes fraccionarias para ayudar con la división, seguida de las soluciones de 84 problemas específicos en aritmética y geometría. El papiro de Golenishchev (en el Museo de Bellas Artes de Moscú), que data del siglo XIX aC, presenta 25 problemas de un tipo similar. Estos problemas reflejan bien las funciones que realizarían los escribas, ya que tratan de cómo distribuir la cerveza y el pan como salarios, por ejemplo, y cómo medir las áreas de los campos, así como los volúmenes de las pirámides y otros sólidos.


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