La física matemática y la teoría de grupos

En la década de 1910, las ideas de Lie y Killing fueron retomadas por el matemático francés Élie-Joseph Cartan, quien simplificó su teoría y releyó la clasificación de lo que se llamó el complejo clásico Lie álgebras. Las álgebras de Lie simples, de las cuales se elaboran todas las demás en la clasificación, eran todas representables como álgebras de matrices, y, en cierto sentido, el álgebra de Lie es la configuración abstracta para el álgebra matricial. Conectado a cada álgebra de Lie había un pequeño número de grupos de Lie, y había uno canónico más simple para elegir en cada caso. Los grupos tenían una interpretación geométrica aún más simple que las álgebras correspondientes, ya que describieron movimientos que dejan inalteradas ciertas propiedades de las figuras. Por ejemplo, en el espacio tridimensional euclidiano, las rotaciones no cambian las distancias entre los puntos; el conjunto de todas las rotaciones sobre un punto fijo resulta para formar un grupo de Lie, y es uno de los grupos de Lie en la clasificación. La teoría de álgebras de Lie y grupos de Lie muestra que hay solo algunas maneras sensatas de medir propiedades de figuras en un espacio lineal y que estos métodos producen grupos de movimientos que dejan las figuras, que son (más o menos) grupos de matrices, inalteradas . El resultado es una teoría poderosa que podría esperarse que se aplique a una amplia gama de problemas en geometría y física.


El líder en los esfuerzos para hacer que la teoría de Cartan, que estaba limitada a las álgebras de Lie, arrojara resultados para una clase correspondiente de grupos de Lie, fue el alemán-americano Hermann Weyl. Produjo una teoría rica y satisfactoria para el matemático puro y escribió extensamente sobre geometría diferencial y teoría de grupos y sus aplicaciones a la física. Weyl intentó producir una teoría que unificaría la gravitación y el electromagnetismo. Su teoría se encontró con críticas de Einstein y generalmente se consideró como fracasado; solo en el último cuarto del siglo XX las teorías de campos unificados similares se encontraron con cualquier aceptación. No obstante, el enfoque de Weyl demuestra cómo la teoría de los grupos de Lie puede entrar en la física de una manera sustancial.

En cualquier teoría física, el esfuerzo es dar sentido a las observaciones. Diferentes observadores hacen diferentes observaciones. Si difieren en la elección y dirección de sus ejes de coordenadas, dan diferentes coordenadas a los mismos puntos, y así sucesivamente. Sin embargo, los observadores coinciden en ciertas consecuencias de sus observaciones: en la física newtoniana y la geometría euclidiana coinciden en la distancia entre los puntos. La relatividad especial explica cómo los observadores en un estado de movimiento relativo uniforme difieren en cuanto a longitudes y tiempos, pero acuerdan una cantidad llamada intervalo. En cada caso, pueden hacerlo porque la teoría relevante los presenta con un grupo de transformaciones que convierte las mediciones de un observador en las de otro y deja invariables las cantidades básicas apropiadas. Lo que Weyl propuso fue un grupo que permitiría a los observadores en movimiento relativo no uniforme, y cuyas mediciones del mismo electrón en movimiento serían diferentes, convertir sus medidas y así permitir el estudio relativista (general) de las cargas eléctricas en movimiento.


En la década de 1950, los físicos estadounidenses Chen Ning Yang y Robert L. Mills dieron un tratamiento exitoso de la llamada interacción fuerte en la física de partículas desde el punto de vista del grupo de Lie. Veinte años después, los matemáticos iniciaron su trabajo y comenzó un dramático resurgimiento del interés en la teoría de Weyl. Estos nuevos desarrollos, que tuvieron el efecto secundario de permitir a los matemáticos escapar de los problemas en el enfoque original de Weyl, fueron el resultado de líneas de investigación que originalmente se habían llevado a cabo con poca consideración por las cuestiones físicas. No por primera vez, las matemáticas probarían ser sorprendentemente efectivas o, como dijo el físico estadounidense nacido en Hungría Eugene Wigner, "irrazonablemente efectivas" en la ciencia.

Cartan había investigado cuánto se puede lograr en geometría diferencial al usar la idea de mover marcos de referencia. Este trabajo, inspirado en parte por la teoría de la relatividad general de Einstein, fue también un desarrollo de las ideas de la geometría riemanniana que en un principio entusiasmó a Einstein. En la teoría moderna, uno imagina un espacio (por lo general, un colector) compuesto por piezas superpuestas coordinadas. En cada pieza, uno supone que se definan algunas funciones, que en aplicaciones podrían ser los valores de ciertas cantidades físicas. Se dan reglas para interpretar estas cantidades donde las piezas se superponen. Los datos se consideran como un conjunto de información proporcionada en cada punto. Para cada función definida en cada parche, se supone que en cada punto hay disponible un espacio vectorial como espacio de almacenamiento matemático para todos sus valores posibles. Debido a que se adjunta un espacio vectorial en cada punto, la teoría se llama teoría de haces de vectores. Se pueden unir otros tipos de espacio, ingresando así a la teoría más general de los haces de fibras. El punto sutil y vital es que es posible colocar paquetes bastante diferentes que, sin embargo, se ven similares en pequeños parches. El cilindro y la banda de Möbius se parecen en pequeñas piezas pero son topológicamente distintas, ya que es posible dar un sentido de dirección estándar a todas las líneas del cilindro, pero no a las de la banda de Möbius. Ambos espacios pueden considerarse paquetes vectoriales unidimensionales sobre el círculo, pero son muy diferentes. El cilindro es considerado como un paquete "trivial", la banda de Möbius como una retorcida.

 

En las décadas de 1940 y 1950, una rama vigorosa de la topología algebraica estableció las principales características de la teoría de los haces. Luego, en la década de 1960, el trabajo realizado principalmente por Grothendieck y el matemático inglés Michael Atiyah mostró cómo el estudio de los paquetes de vectores en espacios podría considerarse como el estudio de la teoría de la cohomología (llamada teoría K). Aún más significativo es que en la década de 1960, Atiyah, el American Isadore Singer y otros descubrieron formas de relacionar este trabajo con el estudio de una amplia variedad de cuestiones relacionadas con la diferenciación parcial, que culminó en el célebre teorema de Atiyah-Singer para operadores elípticos. (Elíptico es un término técnico para el tipo de operador estudiado en teoría potencial). Existen implicaciones notables para el estudio de la geometría pura, y se ha prestado mucha atención al problema de cómo la teoría de paquetes abarca la teoría de Yang y Mills. , que lo hace precisamente porque hay paquetes no triviales, y a la pregunta de cómo se puede hacer para pagar en grandes áreas de la física teórica. Estas incluyen las teorías del super espacio y la supergravedad y la teoría de cuerdas de partículas fundamentales, que involucra la teoría de las superficies de Riemann en formas novedosas e inesperadas.


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